Числовые неравенства примеры с решением

Определение и основные свойства числовых неравенств.

а) Говорят, что число Числовые неравенства примеры с решением больше числа Числовые неравенства примеры с решением и пишут Числовые неравенства примеры с решением, если разность Числовые неравенства примеры с решением положительна. Если же разность Числовые неравенства примеры с решением отрица-тельна, то говорят, что Числовые неравенства примеры с решением меньше Числовые неравенства примеры с решением и пишут Числовые неравенства примеры с решением.

Запись Числовые неравенства примеры с решениемпо определению означает, что либо Числовые неравенства примеры с решением, либо Числовые неравенства примеры с решением. Аналогично, неравенство Числовые неравенства примеры с решением означает, что либо Числовые неравенства примеры с решением, либо Числовые неравенства примеры с решением.

Неравенства Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением называют строгими в отличие от неравенств Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением, которые называют нестрогими.

б) Основные свойства неравенств.

1°. Если Числовые неравенства примеры с решением

2°. Если Числовые неравенства примеры с решением при любом с.

3°. Если Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением а если Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением, то Числовые неравенства примеры с решением т. е. при умножении обеих частей неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства сохраняется, а при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

4°. Если Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением, то Числовые неравенства примеры с решениемт. е. при сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака.

5°. Если Числовые неравенства примеры с решением— положительные числа, причем Числовые неравенства примеры с решением, Числовые неравенства примеры с решением, то Числовые неравенства примеры с решением т.е. при умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака.

Эти свойства, сформулированные для неравенств со знаком Числовые неравенства примеры с решением(«больше»), остаются в силе и для неравенств, записанных со знаком Числовые неравенства примеры с решением («меньше»). Кроме того, указанные свойства справедливы и для нестрогих неравенств.

Наряду с неравенствами вида Числовые неравенства примеры с решением, Числовые неравенства примеры с решением, употребляются так называемые двойные неравенства, т. е. неравенства вида

Числовые неравенства примеры с решением

Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решением По определению, запись Числовые неравенства примеры с решениемозначает, что справедливы (верны) оба неравенства Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением. Аналогичный смысл имеют и другие двойные неравенства.

К перечисленным свойствам добавим еще некоторые свойства, связанные со степенной функцией.

6°. Если Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением при любом Числовые неравенства примеры с решениемЭто свойство выражает тот факт, что функция Числовые неравенства примеры с решением, где Числовые неравенства примеры с решением, является возрастающей (рис. 5.1).

7°. Если Числовые неравенства примеры с решением

Это свойство иллюстрирует тот факт, что функция Числовые неравенства примеры с решением обратная к функции Числовые неравенства примеры с решением является возрастающей (рис. 5.2).

Объединяя свойства 6° и 7°, получаем следующее утверждение :

если Числовые неравенства примеры с решением — положительные числа и Числовые неравенства примеры с решением, то Числовые неравенства примеры с решением при любом Числовые неравенства примеры с решением и, обратно, из неравенства Числовые неравенства примеры с решением следует, что Числовые неравенства примеры с решением.

В этом случае говорят, что неравенства Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением гдеЧисловые неравенства примеры с решением равносильны, и пишут

Числовые неравенства примеры с решением

8°. Если Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением при любом Числовые неравенства примеры с решениемиЧисловые неравенства примеры с решением

Отсюда следует, что

Числовые неравенства примеры с решением

Это свойство выражает тот факт, что функция Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решением и обратная к ней функция Числовые неравенства примеры с решением являются возрастающими на всей числовой прямой (рис. 5.3 и 5.4).

Числовые неравенства примеры с решением

В частности

Числовые неравенства примеры с решением

Отметим еще, что неравенство Числовые неравенства примеры с решением справедливо тогда и только тогда, когда Числовые неравенства примеры с решением т. е.

Числовые неравенства примеры с решением

Отбрасывание знака модуля в правом неравенстве было бы грубой ошибкой.

Некоторые важные неравенства.

1°. Для любых действительных чисел а и b справедливо неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

причем знак равенства в (1) имеет место тогда и только тогда, когда Числовые неравенства примеры с решением

Это утверждение следует из очевидного неравенства Числовые неравенства примеры с решениемАналогично доказывается, что неравенство

Числовые неравенства примеры с решением

также является верным при любых Числовые неравенства примеры с решением

2°. Если а и b — числа одного знака Числовые неравенства примеры с решением то

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Для доказательства неравенства (2) достаточно умножить обе части неравенства (1) на положительное число Числовые неравенства примеры с решением

Числовые неравенства примеры с решением

3°. Если Числовые неравенства примеры с решением то

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

т.е. среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. Знак равенства в неравенстве (3) имеет место в том и только в том случае, когда Числовые неравенства примеры с решением.

Неравенство (3) следует из очевидного неравенства Числовые неравенства примеры с решением

Приведем геометрическое доказательство неравенства (3). Для этого воспользуемся тем, что перпендикуляр CD (рис. 5.5), опущенный из вершины прямого угла С треугольника ABC на гипотенузу АВ, есть среднее геометрическое проекций его катетов на гипотенузу.

Пусть О — центр окружности, построенный на АВ как на диаметре, Числовые неравенства примеры с решением тогда Числовые неравенства примеры с решением Так как Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением причем равенство в этом соотношении имеет место только при Числовые неравенства примеры с решением.

4°. Неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

равносильно двойному неравенству

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Дадим геометрическое доказательство этого утверждения, пользуясь тем, что Числовые неравенства примеры с решением— расстояние от начала отсчета О на числовой прямой до точки А, изображающей число а (рис. 5.6).

Числовые неравенства примеры с решением

Неравенство (4) означает, что расстояние от точки А до точки О меньше b, и поэтому число а принадлежит интервалу (—b,b), т.е. справедливо неравенство (5). Обратно, из неравенства (5) следует неравенство (4).

5°. Для любых действительных чисел а и b справедливы неравенства

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Чтобы доказать правое неравенство (6), запишем очевидные неравенства

Числовые неравенства примеры с решением

Складывая их, получаем неравенство

Числовые неравенства примеры с решением

которое в силу утверждения 4° равносильно неравенству

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Докажем левое неравенство (6). Используя неравенство (7), получаем

Числовые неравенства примеры с решением

откуда

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Аналогично

Числовые неравенства примеры с решением

откуда находим

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Из неравенств (8) и (9) имеем

Числовые неравенства примеры с решением

а это неравенство в силу утверждения 4° равносильно следующему:

Числовые неравенства примеры с решением

Заменив здесь b на —b и учитывая, что | — b| = |b|, получаем Числовые неравенства примеры с решением

т.е. левое неравенство (6) доказано.

Примеры с решениями

Пример №59.

Доказать, что для любых действительных чисел Числовые неравенства примеры с решением справедливы неравенства:

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. 1) Обозначим левую часть неравенства (1) через А и преобразуем ее, используя метод выделения полного квадрата:

Числовые неравенства примеры с решением

Так как Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением т.е. справедливо неравенство (1).

2) Разность В между левой и правой частями неравенства (2) можно преобразовать так:

Числовые неравенства примеры с решением

Так как Числовые неравенства примеры с решением тоЧисловые неравенства примеры с решением . Неравенство (2) доказано.

3) Используя формулу квадрата суммы трех чисел, преобразуем разность С между правой и левой частями неравенства (3):

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Отсюда следует, что С ^ 0, т. е. справедливо неравенство (3). Заметим, что из равенства (4) следует неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

справедливое для любых а, b, с.

Пример №60.

Доказать, что если а,b, с — положительные числа, то

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Используя неравенство, связывающее среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, имеем

Числовые неравенства примеры с решением

Аналогично

Числовые неравенства примеры с решением

Складывая эти неравенства, получаем неравенство (6).

Пример №61.

Пусть Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решением Доказать, что Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Рассмотрим более общую задачу: сравним числа Числовые неравенства примеры с решением и Числовые неравенства примеры с решением где Числовые неравенства примеры с решением Запишем разность этих чисел в виде

Числовые неравенства примеры с решением

а затем умножим и разделим каждую разность радикалов на их сумму и воспользуемся формулой Числовые неравенства примеры с решениемТогда получим

Числовые неравенства примеры с решением

Так как знаменатель первой дроби больше знаменателя второй дроби, то А < B . В частности, а < b.

Пример №62.

Доказать, что при любом Числовые неравенства примеры с решением справедливо неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Обозначим через Числовые неравенства примеры с решением, левую часть неравенства (7) и воспользуемся неравенствами

Числовые неравенства примеры с решением

Складывая эти неравенства, получаем

Числовые неравенства примеры с решением

т.е. справедливо неравенство (7).

Пример №63.

Доказать, что при любом Числовые неравенства примеры с решением справедливо неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Введем обозначения

Числовые неравенства примеры с решением

Отсюда следует, что

Числовые неравенства примеры с решением

Воспользуемся неравенствами

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Перемножив неравенства (9), получим А < В, откуда следует, что Числовые неравенства примеры с решением и поэтому Числовые неравенства примеры с решением т.е. справедливо неравенство (8).

Пример №64.

Доказать, что если действительные числа а, b, с удовлетворяют условиям

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

то справедливы неравенства

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Воспользуемся неравенством

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

которое равносильно неравенству Числовые неравенства примеры с решениемНо из (10) следует, что

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

а из (13) и (14) получаем неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Заменяя в неравенстве (13) а и b на Числовые неравенства примеры с решениеми используя неравенство (15), имеем

Числовые неравенства примеры с решением

т.е. справедливо неравенство (11).

Аналогично, заменив в неравенстве (13) а и b на Числовые неравенства примеры с решением и применив неравенство (11), находим

Числовые неравенства примеры с решением

т.е. неравенство (12) доказано.

Пример №65.

Доказать, что если а > 1, то

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Запишем следующую цепочку равенств и неравенств :

Числовые неравенства примеры с решением

откуда следует, что верно неравенство (16). Здесь мы воспользовались тем, что если а > 1, b > 1, с > а, то Числовые неравенства примеры с решением (функция Числовые неравенства примеры с решением где Числовые неравенства примеры с решением убывает), а также тем, что функция Числовые неравенства примеры с решением где Числовые неравенства примеры с решением возрастает.

Пример №66.

Доказать, что для любых действительных чисел Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решением удовлетворяющих условиям

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

справедливо неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Так как для любых действительных чисел а и b выполняется неравенство Числовые неравенства примеры с решением а абсолютная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых, то

Числовые неравенства примеры с решением

в силу условий (17), т. е. неравенство (18) доказано.

Пример №67.

Доказать, что если положительные числа Числовые неравенства примеры с решением удовлетворяют условию

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

то справедливо неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Утверждение верно при Числовые неравенства примеры с решением : если Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением Пусть неравенство верно при всех Числовые неравенства примеры с решением таких, что Числовые неравенства примеры с решением Докажем, что оно верно и при Числовые неравенства примеры с решением

Если все числа Числовые неравенства примеры с решениемравны единице, то неравенство (20) является верным. Если хотя бы одно из этих чисел больше единицы, то из равенства (19) следует, что хотя бы одно из оставшихся чисел меньше единицы. Пусть для определенности Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решениемтогда Числовые неравенства примеры с решениемоткуда следует, что

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Согласно предположению индукции для любых положительных чисел Числовые неравенства примеры с решением таких, что

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

выполняется неравенство

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Полагая

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

в силу (23) получаем

Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением

Складывая неравенства (21) и (25), приходим к неравенству (20), справедливому для любых неотрицательных чисел Числовые неравенства примеры с решениемкоторые (см. (22) и (24)) удовлетворяют условию (19).

Замечание. При решении неравенств часто возникает потребность сравнивать числа, записанные с помощью радикалов, логарифмов и т.д. Предполагается, что ответ на вопрос «Какое из двух заданных чисел больше другого?» следует получить без использования микрокалькулятора и других вычислительных средств, а на основании свойств неравенств и свойств элементарных функций.

Пример №68.

Сравнить числа а и b, если:

Числовые неравенства примеры с решением

Решение:

а) Обозначим через с разность чисел а и b. Тогда

Числовые неравенства примеры с решением

Сравним числа Числовые неравенства примеры с решениеми Числовые неравенства примеры с решением Так как Числовые неравенства примеры с решением Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением откуда Числовые неравенства примеры с решением и поэтому Числовые неравенства примеры с решением

.

б) Так как Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решением а неравенство Числовые неравенства примеры с решением равносильно каждому из неравенств Числовые неравенства примеры с решениемто Числовые неравенства примеры с решением т.е.Числовые неравенства примеры с решением

в) Заметив, что Числовые неравенства примеры с решениемЧисловые неравенства примеры с решениемполучим Числовые неравенства примеры с решением откуда Числовые неравенства примеры с решениемт.е. Числовые неравенства примеры с решением

г) Переходя к логарифмам по основанию 2, получаем

Числовые неравенства примеры с решением

откуда Числовые неравенства примеры с решением Так как Числовые неравенства примеры с решениемто Числовые неравенства примеры с решением т.е. Числовые неравенства примеры с решением

д) Так как Числовые неравенства примеры с решением a Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решением

Пример №69.

Упростив выражение

Числовые неравенства примеры с решением

сравнить полученное число с нулем.

Решение:

Так как Числовые неравенства примеры с решением где Числовые неравенства примеры с решением то Числовые неравенства примеры с решениеми поэтому

Числовые неравенства примеры с решением

Итак, Числовые неравенства примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Арккосинус с примерами решения
Арктангенс с примерами решения
Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
Рациональные уравнения примеры с решением