Формулы приведения с примерами решения

Формулы приведения

Наиболее употребительными являются следующие формулы:

Формулы приведения с примерами решения

Любую из формул приведения можно получить, пользуясь следующими правилами:

а) если аргумент приводимой функции равен Формулы приведения с примерами решения или Формулы приведения с примерами решениято синус заменяется на косинус, а косинус — на синус; если же аргумент приводимой функции равен Формулы приведения с примерами решения то функция не меняет своего названия;

б) перед приведенной функцией ставится такой же знак, какой имеет приводимая функция, если считать, что Формулы приведения с примерами решения

Формулы суммы и разности синусов:

Формулы приведения с примерами решения Формулы приведения с примерами решения

Формулы суммы и разности косинусов:

Формулы приведения с примерами решения Формулы приведения с примерами решения

Формулы суммы и разности тангенсов:

Формулы приведения с примерами решения Формулы приведения с примерами решения

Пример №39.

Преобразовать в произведение тригонометрических функций сумму:

Формулы приведения с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулами (15)-(18).

1) Так как

Формулы приведения с примерами решения

2) Так как

Формулы приведения с примерами решения

Пример №41.

Доказать тождество

Формулы приведения с примерами решения

Доказательство. Пусть S — левая часть тождества. Преобразуем S, пользуясь формулами (15)-(18). Имеем

Формулы приведения с примерами решения

Пример №46.

Доказать, что если Формулы приведения с примерами решениято справедливо равенство

Формулы приведения с примерами решения

Доказательство. Применяя формулы косинуса и синуса суммы (формулы сложения), получаем равенство

Формулы приведения с примерами решения

Для завершения доказательства следует правую часть этого равенства умножить и разделить наФормулы приведения с примерами решения

Пример №48.

Вычислить без таблиц суммы: Формулы приведения с примерами решенияФормулы приведения с примерами решения

Решение:

1) Применяя формулу суммы косинусов, получаем

Формулы приведения с примерами решения

Следовательно, Формулы приведения с примерами решения

2) Нетрудно убедиться в том, что применение формулы суммы косинусов не позволяет вычислить Формулы приведения с примерами решения. Преобразуем сумму Формулы приведения с примерами решения в произведение. Рассмотрим равенство

Формулы приведения с примерами решения

и преобразуем правую часть этого равенства. Получим

Формулы приведения с примерами решения

откуда

Формулы приведения с примерами решения

Пример №50.

Доказать тождество

Формулы приведения с примерами решения

Доказательство. Пусть Формулы приведения с примерами решения — левая часть равенства. УмножимФормулы приведения с примерами решения наФормулы приведения с примерами решенияи воспользуемся формулой Формулы приведения с примерами решения Получим

Формулы приведения с примерами решения

В этой сумме взаимно уничтожаются все слагаемые, кроме первого и последнего. Поэтому

Формулы приведения с примерами решения

Если Формулы приведения с примерами решения то из последнего равенства находим

Формулы приведения с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Формулы двойного и тройного аргумента с примерами решения
Формулы понижения степени с примерами решения
Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения
Арксинус с примером решения