Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Линейные неравенства с двумя переменными

Пример №314.

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Решение:

Уравнение Пример решения линейных неравенств с двумя переменнымиявляется уравнением прямой (рис. 26.5), проходящей через точки Пример решения линейных неравенств с двумя переменными и Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Пусть Пример решения линейных неравенств с двумя переменными— точка, лежащая ниже прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными (в заштрихованной на рис. 26.5 полуплоскости), а Пример решения линейных неравенств с двумя переменными — точка с абсциссой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными и ординатой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными, лежащая на прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными. Тогда

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

а

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

так как Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Таким образом, в любой точке Пример решения линейных неравенств с двумя переменными лежащей ниже прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными, выполняется неравенство (1). Аналогично, в любой точке Пример решения линейных неравенств с двумя переменнымилежащей выше прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными, выполняется неравенство

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Точно так же можно решить неравенство общего вида

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

где по крайней мере одно из чисел Пример решения линейных неравенств с двумя переменными и Пример решения линейных неравенств с двумя переменными не равно нулю.

Если Пример решения линейных неравенств с двумя переменнымито неравенство (2) выполняется во всех точках, лежащих ниже прямой, заданной уравнением

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Если Пример решения линейных неравенств с двумя переменными то неравенство (2) справедливо в точках, лежащих выше этой прямой.

Если Пример решения линейных неравенств с двумя переменными то неравенство (2) примет вид

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Это неравенство равносильно неравенству Пример решения линейных неравенств с двумя переменными при Пример решения линейных неравенств с двумя переменными и неравенству Пример решения линейных неравенств с двумя переменными при Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Например, неравенство Пример решения линейных неравенств с двумя переменными равносильно неравенствуПример решения линейных неравенств с двумя переменными которому удовлетворяют точки, лежащие слева от прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными (рис. 26.6).

В общем случае прямая

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

разделяет плоскость на две полуплоскости, в одной из которых выполняется неравенство (2), а в другой — неравенство

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Чтобы решить неравенство (2) или (3), достаточно взять какую-нибудь точку Пример решения линейных неравенств с двумя переменнымине лежащую на прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными и определить знак числа Пример решения линейных неравенств с двумя переменными Например, неравенство

Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

верно в полуплоскости, расположенной выше прямой Пример решения линейных неравенств с двумя переменными (рис. 26.7), так как при Пример решения линейных неравенств с двумя переменными выражение Пример решения линейных неравенств с двумя переменными отрицательно. Эта прямая проходит через точки Пример решения линейных неравенств с двумя переменнымии Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Тригонометрические неравенства с примерами решения
Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля