Сопротивление материалов — задачи с решением и примерами

Оглавление:

Решение задач по сопромату

Для того чтобы научиться решать задачи по сопромату, нужно знать теорию. На этой странице я собрала краткий и полный курс лекций с формулами и определениями и со множеством примеров решения задач.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

На этой странице всё о предмете «сопротивление материалов»:

Ниже предоставлены задачи с подробным решением по всем темам сопротивления материалов и дополнительная теория которая поможет в выполнении задач.

Сопротивление материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и надежности инженерных конструктивных элементов. Методы сопротивления материалов используются для проведения практических расчетов и определения необходимых, как говорится, достоверных размеров деталей машин, различных конструкций и сооружений.

Основные понятия сопротивления материалов основаны на законах и теоремах общей механики и, прежде всего, на законах статики, без знания которых изучение этого предмета становится практически невозможным.

В отличие от теоретической механики, сопротивление материала рассматривает проблемы, где наиболее существенными являются свойства деформированных тел, а законы движения тел, как жесткое целое, не только отступают на задний план, но в некоторых случаях просто несущественны.

Целью сопротивления материалов является создание практически приемлемых простых методов расчета типичных, наиболее часто встречающихся элементов конструкций. Необходимость доводить каждую практическую задачу до определенного численного результата заставляет в некоторых случаях прибегать к упрощающим гипотезам — предположениям, которые впоследствии оправдываются сравнением расчетных данных с экспериментом.

Растяжение и сжатие. Статически определенная задача

Статически определимыми называют задачи, которые можно решать методами статики твердого тела, т. е. задачи, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия.

Задача №1.3

Определить размеры поперечных сечений стержней металло-деревянной фермы. Материал стержней 1 и 2 — древесина с равным квадратным поперечным сечением; стержень 3 стальной, из двух равнополочных уголков (рис. 1.5, а).

Расчетные сопротивления: для стали R = 210 МПа, для древесины сопромат

сопромат для всех

Решение:

Нагрузка F через стержни 1 и 2 передается на опоры А и В, где возникают три реакции сопромат, которые могут быть определены из уравнений равновесия сопромат

Значит, эта система является статически определимой.

Поскольку стержни фермы соединяются между собой при помощи шарниров, действующая нагрузка может вызвать в них только продольные силы N, т. е. они подвергаются деформации растяжения-сжатия.

Рассматриваемая система относится к случаю, когда внутренние силы в ее стержнях можно определить без нахождения опорных реакций.

Для определения усилий в стержнях фермы используется метод сечений, по которому ферма «рассекается» на две части так, чтобы одновременно рассекались не более трех стержней.

Первое сечение проведем, как показано на рис. 1.5, б, и составим уравнения равновесия для узла С.

Искомые усилия сопромат,сопромат направим от сечения (считаем растягивающими):

сопромат

Решив уравнения, получим сопроматстержни 1 и 2 сжаты. Второе сечение проведем, как показано на рис. 15, в. Искомое усилие сопромат направим от сечения, а найденное сопромат— к сечению, так как стержень 2 сжат.

Уравнение равновесия узла В

сопромат

откуда

сопромат

Стержень 3 испытывает деформацию растяжения. Из условия прочности (1.2) определим значения площадей поперечных сечений стержней фермы. Для первого стержня

сопромат

сторона сечения сопромат

Для второго стержня

сопромат

сторона сечения сопромат

Конструктивно принимаем сопромат Для третьего стержня

сопромат

Для одного уголка

сопромат

Из таблицы сортамента равнополочных уголков принимаем два уголка 40 х 40 х 5 мм с площадью поперечного сечения

сопромат

Растяжение и сжатие. Статически неопределенная задача

Статически неопределёнными называют задачи с числом неизвестных, превышающим число уравнений равновесия сил, т. е. задачи, которые нельзя решать методами статики твёрдого тела и для решения которых нужно учитывать деформации тела, обусловленные внешними нагрузками.

Задача №1.7

Стальной стержень круглого поперечного сечения, жестко защемленный обоими концами в неподвижных опорах, нагружен системой расчетных сил F (рис. 1.9, а).

сопромат для всех

Определить минимально необходимый диаметр стержня, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Нагрузка F, действующая по продольной оси стержня, вызывает в опорах только по одной реакции сопромат по линии действия сил.

Сам стержень подвергается деформации растяжения-сжатия с образованием в его сечениях продольных сил N.

Неизвестные реакции направляются произвольно. Для данного стержня можно составить только одно уравнение равновесия:

сопромат

из которого две неизвестные величины не могут быть определены. Значит, рассматриваемый стержень является статически неопределимым.

Для проведения расчета стержень делится на расчетные участки с граничными сечениями, в которых приложены внешние силы (активные и реактивные). В задании — четыре расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I—IV. Заданным длинам l участков придается номер расчетного участкасопромат.

Для раскрытия статической неопределимости к уравнению равновесия необходимо составить одно дополнительное уравнение, исходя из принципа совместности перемещений его участков.

Для проведения расчета выбирается так называемая основная (статически определимая) система, которая получается из статически неопределимой путем удаления одной связи (здесь — опоры). Основная система загружается заданной нагрузкой и неизвестной реакцией удаленной опоры. Один из вариантов основной системы показан на рис. 1.9, б, где удалена верхняя опора.

Смысл совместности перемещений в этом задании заключается в том, что в основной системе, вследствие деформации расчетных участков стержня от действия нагрузки (сил F) и неизвестной реакции сопромат перемещение сечения сопромат должно быть равно нулю. Уравнение перемещений в общем виде

сопромат

Выразив деформации сопромат на участках стержня через продольные силы N по закону Гука сопромат и учтя, что на участках стержня сопромат получим

сопромат

или

сопромат

откуда сопромат

Полученный в результате вычислений знак «минус» при сопромат означает, что эта реакция имеет противоположное направление. Направлениесопромат (см. рис. 1.9, б) исправлено на действительное.

Для определения реакции сопромат рассмотрим основную систему, изображенную на рис. 1.9, в:

сопромат

откуда сопромат

Направление реакции сопромат на рис. 1.9, в показано правильно. По уравнению равновесия проверим правильность определения опорных реакций:

сопромат

реакции определены правильно.

Определим продольные силы N на участках стержня, используя второй прием, по которому

сопромат

и правило знаков, описанное выше (от сечения — «плюс», к сечению -«минус»).

Рассматриваем «отсеченную» верхнюю часть стержня:

сопромат

По этим данным строится эпюра продольных сил (рис. 1.9, г). Диаметр стержня определяем из условия прочности по нормальным напряжениям.

Площадь поперечного сечения стержня

сопромат

а его диаметр

сопромат

л V 3,14

По стандарту принимаем диаметр стержня d = 3,2 см с площадью сечения сопромат

Нормальные напряжения на участках стержня

сопромат

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 1.9, д. Для построения эпюры перемещений необходимо вычислить деформации на каждом расчетном участке стержня:

сопромат

Перемещения граничных сечений

сопромат

Эпюры перемещений показаны на рис. 1.9, е.

Геометрические характеристики плоских сечений. Расчет составного сечения

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Задача №3.3

Для сечения, составленного из двух швеллеров и листа, определить значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.5).

сопромат для всех

Данные к заданию: швеллер № 20, лист сечением 15,2 х 2 см. Из таблиц сортамента для швеллера № 20: h = 20 см, b = 7,6 см, сопромат

Решение:

На сечении отмечаются центры тяжести швеллеров сопромат листа сопромат проводятся их центральные оси сопромат и сопромат

Центр тяжести сечения лежит на оси сопромат так как последняя является осью симметрии. Вспомогательная ось сопромат проводится по нижней стороне сечения.

Координаты центров тяжести отдельных фигур относительно осей сопромат

сопромат

Ордината центра тяжести

сопромат

На сечении отмечается центр тяжести О и проводится центральная ось сопромат

Вычисляем расстояния между осями п и т:

сопромат

Значения осевых моментов инерции относительно центральных осей сопромат

сопромат

Так как оси сопромат являются главными цен тральными осями сечения, значения сопромат и сопромат являются главными центральными моментами инерции. Из значенийсопроматисопромат. следует, что сопроматa сопромат Данное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси сопромат и наименьшую относительно оси сопромат.

Кручение. Статически неопределенная задача. Расчет вала

Кручение — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент.

Как известно, статически неопределимыми называют задачи, в которых число неизвестных опорных реакций или число внутренних усилий превышает число возможных уравнений статики. Один из методов решения статически неопределимых задач сводится к следующему: а) составляются все возможные в данной задаче уравнения статики; б) представляется картина деформации, происходящей в данной конструкции, и записываются деформационные уравнения, число которых должно быть равно степени статической неопределимости задачи; в) решается совместная система уравнений статики и деформационных уравнений.

Задача №4.3

Стержень круглого поперечного сечения d = Зсм с защемленными концами подвергается действию двух скручивающих моментов, соотношение которых сопромат.

Определить наибольшие допустимые значения скручивающих моментов и угол поворота сечения (т. К) стержня, если сопромат, G = 80 ГПа (рис. 4.9).

сопромат для всех

Решение:

Исходя из характера нагрузки на стержень, в его опорах возникнет по одной реакции — реактивному моменту Т (предварительно направляются произвольно), рис. 4.9, а.

Уравнение равновесия можно составить только одно:

сопромат

в котором две неизвестные величины. Значит, рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (2-1 = 1).

Для раскрытия статической неопределимости необходимо составить дополнительное уравнение исходя из принципа совместности перемещений.

За основную (статически определимую) систему выбираем стержень с удаленной, вот, левой опорой (рис. 4.9, б), загруженный заданными моментами сопромат и сопромат и неизвестным реактивным опорным моментом сопромат.

На опоре А (заделке) угол поворота в заданной системе (см. рис. 4.9, а) сопромат Чтобы основная система (см. рис. 4.9, б) была эквивалентна заданной, необходимо выдержать это условие и в основной системе: сопромат Это и есть дополнительное уравнение, выраженное в общем виде.

Применив метод независимости (сложения) действия сил и исходя из принципа совместности деформации (углов поворота) участков стержня, раскроем дополнительное уравнение, используя формулу (4.3) и соотношение скручивающих моментов:

сопромат

или

сопромат

Учитывая, что сопромат, получим

сопромат

Направление сопромат было выбрано правильно (значение сопромат положительное). Определением момента сопроматстатическая неопределимость раскрыта. Аналогичным образом можно определить реактивный момент сопромат.

Определяем значения крутящих моментов на трех расчетных участках стержня:

сопромат

По значениям крутящих моментов, выраженных в долях от сопромат строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.9, в). Из эпюры следует, что сопромат

Из условия прочности (4.2) максимальный допустимый крутящий момент, который может воспринять стержень:

сопромат

Нагрузочные (скручивающие) моменты на стержень и реактивный момент

сопромат

откуда

сопромат

На эпюре крутящих моментов (рис. 4.9, в) проставлены значения крутящих моментов на участках стержня.

Угол поворота среднего сечения (т. К) стержня определим, используя формулу (4.3):

сопромат

или

сопромат

Эпюра касательных напряжений и угол поворота сечения К показаны на рис. 4.9, г.

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки

Прямой изгиб — это вид деформации, при котором первоначально прямолинейная ось стержня искривляется. Если балка изгибается по направлению действия внешней нагрузки, то это прямой изгиб.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Задача №5.3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для двухопорной балки с консолью (рис. 5.8).

сопромат для всех

Определяем опорные реакции.

сопромат

откуда сопромат

сопромат

откуда сопромат

сопромат — реакции определены верно (по направлению и значениям). Балка имеет три расчетных участка.

Участок 1 — ход слева: сопромат

сопромат

При сопромат

при сопромат

сопромат

Участок 2 — ход слева: сопромат

сопромат — линейная зависимость;сопромат— параболическая зависимость.

При сопромат

при сопромат

Участок 3 — ход справа: сопромат

  • сопромат— линейная зависимость;
  • сопромат — параболическая зависимость.

При сопромат

при сопромат

На участке ВС балки эпюра Q переходит через нуль (Q = 0). В этом сечении, определяемом абсциссой сопромат, изгибающий момент М имеет экстремальное значение.

Определим расстояние сопромат из выражения

сопромат

откуда сопромат

При сопромат

сопромат

Заметим, что на участках балки, где действует распределенная нагрузка q, изгибающий момент изменяется по закону параболы. Линия эпюры изогнута в сторону направления нагрузки q.

Из построенных эпюр следует, что сопромат

Прямой изгиб. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балки с шарниром

Первый вопрос, на который должен получить ответ конструктор, – какие по величине и направлению внутренние силовые факторы (ВСФ) действуют в различных сечениях вдоль оси бруса. Это необходимо для определения вида нагружения (по действующим ВСФ) и выбора так называемого опасного сечения (определяется величиной ВСФ). С этой целью строят графики, которые носят название эпюры.

Графики, показывающие изменение внутренних усилий и моментов в сечениях по длине бруса, называются эпюрами усилий и моментов (эпюрами ВСФ).

В каждом сечении тела, естественно, внутренние усилия и моменты различны по величине и направлению. Таким образом, эпюры дают картину распределения ВСФ по длине бруса.

Задача5.4

Построить эпюры Q и М для двухпролетной балки с промежуточным шарниром (рис. 5.9).

сопромат для всех

Решение:

Сложная (составная) балка АК состоит из двух частей: основной А С, покоящейся на шарнирных опорах А и В, и дополнительной, опирающейся левым концом на основную балку, а правым — на опору К.

Нагрузка q, действующая на основную балку, передается только на опоры А и В. Нагрузка F, действующая на дополнительную часть балки, передается на опору К и через шарнир С — на основную часть балки, а затем на опоры А и В.

Для ведения расчета сложную балку следует расчленить на основную и дополнительную части, проведя сечение через шарнир С (рис. 5.9, б).

Реакции в опорах балки определяют обычным образом, рассматривая отдельно каждую часть сложной балки, начиная с дополнительной.

Составляем уравнения равновесия для дополнительной части балки (СК):

сопромат

Составляем уравнения равновесия для основной части балки (АС). В сечении С основной части балки нужно приложить ту часть нагрузки F, которая с дополнительной части передается на основную. Эта часть нагрузки сопромат равна реакции сопромат дополнительной части, т. е. сопромат Направлять сопромат следует противоположно направлению сопромат.

сопромат

Для определения опорных реакций можно поступить иначе. Так как изгибающий момент в шарнире равен нулю (через шарнир мо-

мент не передается), то к обычным уравнениям равновесия можно добавить еще одно — сумма моментов относительно шарнира С от сил слева или справа от него равна нулю сопроматТогда рис. 5.9, б не нужен.

В данном задании целесообразно составить следующие уравнения равновесия:

сопромат— определяется реакция сопромат;

сопромат — войдут неизвестная реакция сопромат и известная реакция сопромат. Совместное решение уравнений сопромат дает значение реакции сопромат;

сопромат — определяется реакция сопромат

Возможно применение других вариантов уравнений равновесия. Эпюры Q и М строятся обычным путем, отдельно для каждой части балки, а затем их нужно соединить.

После того как изучены закономерности изменения Q и М на участках балки в зависимости от вида нагрузки, процедуру их определения можно несколько упростить. Выражения для Q и М на каждом участке балки в зависимости от z не составляются, а сразу вычисляются их значения для конкретных сечений (обычно это границы расчетных участков балки).

Как выявлено ранее, в сечении, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре Q образуется скачок на величину этой силы. Поэтому в таких сечениях вычисляются два значения Q на бесконечно малых расстояниях слева (л) и справа (п) от него.

То же относится и к сосредоточенному моменту М.

Определяем внутренние силы (усилия) в характерных сечениях балки.

Ход слева.

Сечение А:

сопромат

Сечение В:

сопромат

Сечение С:

сопромат задачи с решением

Для остальной части балки целесообразен ход справа.

Сечение К:

сопромат задачи с решением

Сечение D:

сопромат задачи с решением

Сечение С

сопромат задачи с решением

Заметим, что последние значения Q и М можно было не определять (уже найдены).

По вычисленным значениям Q и М строятся их эпюры (рис. 5.9, в, г). На участке АВ балки эпюра Q переходит через нуль. Определим это сечение N, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение:

сопромат задачи с решением

откуда сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из построенных эпюр следует, что сопромат задачи с решением

Процедуру построения эпюры Q можно еще более упростить, применив графоаналитический прием, помня о закономерности изменения Q в зависимости от вида нагрузки.

Начинать построение удобно с крайнего левого сечения балки.

В сечении А — скачок на величину и направление реакции, т. е. вверх на 9 кН. На участке АВ — прямая, наклонная по направлению нагрузки q, т. е. вниз на

сопромат задачи с решением

Получим точку с ординатой

9-20 = -11 кН.

От этой точки вверх на значение реакции сопромат задачи с решением получим точку с ординатой 4 кН. На участке ВС и CD изменений нет — эпюра прямая, параллельная оси. В сечении D — скачок вниз на F = 8 кН -получим ординату 4 кН. На участке DK изменений нет. В сечении К -скачок вверх на значение реакции сопромат задачи с решением= 4 кН. Построение всегда должно «замкнуться» на нуле.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность

Элементы перекрытий зданий и сооружений, пролетных строений мостов, эстакад, оси машин и механизмов и т.д., представляющие собой установленные на опоры и сопротивляющиеся изгибу стержни, называются балками.

Задача №5.7

Подобрать размеры нижеобозначенных форм сечений балки и сопоставить коэффициенты их экономичности. Для прямоугольного сечения принять h/b = 1,4.

Расчетные сопротивления материала балки R = 210 МПа, сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением (рис. 5.15).

сопромат для всех

Решение:


Определяем опорные реакции

сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением — реакции определены верно.

Вычислим значения Q и М в характерных сечениях балки и построим их эпюры (рис. 5.15, а, б).

Сечение С:

сопромат задачи с решением

Сечение А :

сопромат задачи с решением

Сечение В:

сопромат задачи с решением

Абсцисса сопромат задачи с решением, где Q = 0, будет

сопромат задачи с решением

При z = 3,4 м

сопромат задачи с решением

Подбор сечений ведется по формуле (5.4), исходя из сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением

Требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

Для круглого поперечного сечения

сопромат задачи с решением

откуда сопромат задачи с решением принимаем d= 8,5 см.

Для прямоугольного сечения

сопромат задачи с решением

откуда b = 5,49 см, h = 7,68 см.

Конструктивно принимаем h = 8 см, b = 5,5 см.

Для прокатного профиля из сортамента по сопромат задачи с решением принимаем двутавр сопромат задачи с решением

Вычислим коэффициенты экономичности для принятых размеров сечений балки по выражению

сопромат задачи с решением

Для круглого сечения

сопромат задачи с решением

Для прямоугольного сечения

сопромат задачи с решением

Для двутавра сопромат задачи с решением

Из рассмотренных форм сечений балки наиболее экономичным является двутавр.

Вычислим максимальные значения нормальных и касательных напряжений для принятых размеров сечений балки.

Нормальные напряжения (максимальны в крайних точках сечений): а)круглое сечение

сопромат задачи с решением

б) прямоугольное сечение

сопромат задачи с решением

в) для двутавра

сопромат задачи с решением

Касательные напряжения (максимальны на уровне нейтральной оси):

а) круглое сечение

сопромат задачи с решением

Для круглого сечения сопромат задачи с решением где половина площади сечения сопромат задачи с решением а расстояние от центра тяжести до ее нейтральной оси сопромат задачи с решением

б) прямоугольное сечение

сопромат задачи с решением

в) для двутавра сопромат задачи с решением (толщина стенки)

сопромат задачи с решением

По полученным значениям сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решениемдля двутавра построены соответствующие эпюры (рис. 5.15, в) с учетом того, что на нейтральной оси сечения сопромат задачи с решением, а в крайних точках сечения сопромат задачи с решением.

Проанализировав значения сопромат задачи с решением для рассмотренных форм сечений (а это наиболее распространенные), заметим: если размеры сечений определены из условия прочности по нормальным напряжениям, то максимальные касательные напряжения значительно меньше не достигают предельно допустимых значений.

Прямой изгиб. Расчет балки на прочность и на жесткость методом начальных параметров

В инженерной практике часто применяются балки с поперечным сечением, имеющим вертикальную ось симметрии. Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, которая совпадает с осью симметрии сечения, то балка будет изгибаться в той же плоскости.

Задача №5.13

Для двухопорной балки с консолью (рис. 5.24), выполненной из двух стальных швеллеров, подобрать их номер и проверить жест кость, если R = 210 МПа, сопромат задачи с решением

Построить эпюру прогибов.

сопромат задачи с решением

Решение:

Начало координатных осей помещено в сечении А. Значения опорных реакций приведены на рис. 5.24, а (нагрузку q, показанную пунктиром, при вычислении реакций можно не учитывать).

Построим эпюры Q и М.

В сечении А

сопромат задачи с решением

В сечении С

сопромат задачи с решением

В сечении В

сопромат задачи с решением

Для сечения, в котором Q = 0, ордината

сопромат задачи с решением

и сопромат задачи с решением

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблицам сортамента принимаем два швеллера № 14 сопромат задачи с решением

Рассматриваемая балка имеет два расчетных участка (участка нагружения).

Заметим, что распределенная нагрузка q не доходит до конца балки. Поэтому ее необходимо продлить по консоли до конца балки и на этом участке приложить компенсирующую нагрузку q’ = q.

Составим уравнения перемещений оси изогнутой балки:

сопромат задачи с решением

Начальные параметры сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением определим, исходя из деформационных условий на опорах балки. При z = 0 (опора А) прогиб сопромат задачи с решением а значит, и сопромат задачи с решением

При z = 4 м (опора В) прогиб сопромат задачи с решением

Запишем уравнение прогибов для сечения В (первый участок, z = 4 м):

сопромат задачи с решением

откуда

сопромат задачи с решением

Определим значение прогибов посредине пролета балки и на конце консоли. При z = 2 м

сопромат задачи с решением

откуда

сопромат задачи с решением

При z = 5 м

сопромат задачи с решением

Эпюра прогибов показана на рис. 5.24, г. При построении эпюры прогибов ее очертание согласуется с эпюрой изгибающих моментов.

Максимальный абсолютный прогиб в пролете балки достигает значения сопромат задачи с решением , относительный прогиб

сопромат задачи с решением

Условие жесткости по формуле (5.8)

сопромат задачи с решением — выполняется

Прямой изгиб. Расчет балки на жесткость энергетическим методом (с помощью интеграла Мора)

Для того, чтобы судить о работе балки, знания одних напряжений в ее сечениях недостаточно. Имеющие запас прочности балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жесткости.

Интеграл Мора позволяет определять прогибы и углы поворота заданного сечения балки, используя интегральное исчисление. Хотя данный метод предпочтительнее метода начальных параметров, он неудобен из-за необходимости вычисления интеграла. Из интеграла Мора был получен удобное для практического применения правило Верещагина, при котором не нужно вычислять интегралы, а только нужно находить площадь и центр тяжести эпюр.

Задача5.17

Для двухопорной балки с консолью определить прогибы в сечениях С и Д и построить эпюру прогибов (в долях сопромат задачи с решением ), рис. 5.30.

Решение:

Значения опорных реакций определяются из условий равновесия:

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением

Определим значения ординат для построения эпюр Q и М.

При сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

При сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Эпюры Q и М даны на рис. 5.30, б и в. Единичные эпюры сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением от сил F= 1, приложенных в сечениях, где нужно определить прогибы, показаны на рис. 5.30, г и д. Грузовую эпюру сопромат задачи с решением сложного очертания, разделим на простые фигуры. Выделим параболу сопромат задачи с решением и два треугольника сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением. Площадь параболы

сопромат задачи с решением
  • где l — длина параболы;
  • h — высота параболы в центре тяжести ее (от нижней точки до пунктирной линии).

Высоту параболы можно вычислить геометрически по эпюре М, но удобнее пользоваться выражением сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим ординаты на единичной эпюре (см. рис. 5.30, г) под центрами тяжести выделенных простых фигур:

сопромат задачи с решением

Необходимо обратить внимание на расположение грузовой и единичных эпюр относительно их осей. Прогиб на конце консоли (сечение Д):

сопромат задачи с решением

(направлен в противоположную сторону по отношению F = 1, т. е. вверх).

Определим ординаты под центрами тяжести простых фигур на второй единичной эпюре:

сопромат задачи с решением

Прогиб в пролете балки (сечение С)

сопромат задачи с решением

(направлен по направлению силы F = 1, т. е. вниз).

По полученным значениям прогибов строится соответствующая эпюра (рис. 5.30, е).

Очерчивая эпюру прогибов, следует обратить внимание, что консоль балки (участок ) не нагружена и, следовательно, этот участок не деформируется, но перемещается вследствие деформации пролетной части.

В случае необходимости определения прогиба не на границе расчетных участков балки, а в произвольном сечении расчет по способу Верещагина значительно усложняется, особенно на участках с распределенной нагрузкой q.

В таких случаях лучше воспользоваться методом начальных параметров.

Расчет статически неопределимых систем. Статически неопределимая балка

Для того чтобы стержневые системы (балки, рамы и т. п.) могли служить сооружениями и выдерживать внешние нагрузки, необходимо наложить на них определенные связи, которые делят на связи внешние и связи внутренние.

Наиболее широко применяемым методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется силами и моментами.

Величина их в дальнейшем определяется так, чтобы перемещения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы или моменты, действующие в местах отброшенных или рассеченных связей. Отсюда и название «метод сил».

Балки могут выполнять функции элемента конструкции лишь в тех случаях, если они неподвижны, т.е. когда их точки перемещаются только в результате деформирования. В случае действия нагрузки только в одной плоскости неподвижность обеспечивается тремя связями (опорами). Эти связи являются необходимыми. Поскольку для плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия, то реакции необходимых связей могут быть найдены с помощью лишь одних уравнений статики. Такие балки называются статически определимыми.

Однако в балке из конструкционных соображений, для увеличения её прочности и жёсткости, может быть больше трех связей (реакций). В этом смысле некоторые связи являются лишними. Балки с лишними связями называются статически неопределимыми, поскольку реакции таких балок невозможно определить только при помощи уравнений статики. Степень статической неопределимости балки определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений статики.

Задача6.3

Для многопролетной балки (рис. 6.7, а) построить эпюры Q и М, подобрать номер прокатного двутавра, если R = 210 МПа.

Определить прогиб посередине ненагруженного пролета, изобразить ось изогнутой балки.

Решение:

Рассматриваемая балка состоит из трех пролетов и проходит не прерываясь над двумя промежуточными опорами, т. е. является неразрезной и дважды статически неопределимой (по числу промежуточных опор). Для ее решения воспользуемся методом сил.

Основную систему получим путем постановки шарниров на промежуточных опорах В и С (рис. 6.7, б). Обозначив неизвестные изгибающие моменты на этих опорах через сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением, запишем систему канонических уравнений по выражению (6.1):

сопромат задачи с решением

Загрузив основную систему заданной нагрузкой (рис. 6.7, б), вычислив опорные реакции и значения М в характерных сечениях, построим грузовую эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением для каждого пролета балки (рис. 6.7, в).

сопромат задачи с решением

Затем нагружаем основную систему единичными опорными моментами сопромат задачи с решением на опоре В и сопромат задачи с решением — на опоре С. Для каждого

пролета основной системы определяем опорные реакции и строим единичные эпюры сопромат задачи с решением(рис. 6.7, г, д).

Грузовая эпюра сопромат задачи с решением расчленяется на простые фигуры сопромат задачи с решением и отмечаются их центры тяжести (см. рис. 6.7, в). На единичных эпюрахсопромат задачи с решением под центрами тяжести сопромат задачи с решением вычисляются значения ординат сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением (см. рис. 6.7, г, д). Отмечаются также центры тяжести единичных эпюр сопромат задачи с решением и ординаты сопромат задачи с решением в их расположении.

Вычисляем значения площадей фигур, составляющих эпюры сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением :

сопромат задачи с решением

Вычисляем значения ординат у на единичных эпюрах:

сопромат задачи с решением

Перемножив единичные эпюры (сами на себя и между собой), получим значения коэффициентов канонических уравнений:

сопромат задачи с решением

Перемножив грузовые эпюры на единичные, получим значения свободных членов канонических уравнений:

сопромат задачи с решением

С учетом значений коэффициентов и свободных членов канонические уравнения примут вид

сопромат задачи с решением

Решив систему уравнений (6.10), получим значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки:

сопромат задачи с решением

Решая задачи самостоятельно, не забудьте проверить правильность решения системы уравнений (6.10).

Заметим и учтем, что направление опорного момента сопромат задачи с решением противоположно направлению сопромат задачи с решением (знак «минус»), а направления сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением совпадают.

Определением значений сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением заканчивается раскрытие статической неопределимости балки.

Окончательные эпюры Q и М построим, рассматривая отдельно каждый пролет неразрезной балки как самостоятельную балку, нагруженную заданной нагрузкой и найденными опорными моментами (рис. 6.8, а). Сначала определяются опорные реакции, а затем значения Q и М в характерных сечениях.

сопромат задачи с решением

Эпюры Q и М для рассмотренной неразрезной балки показаны на рис. 6.8, б, в.

Для проверки правильности выполнения расчетов надо перемножить окончательную эпюру изгибающих моментов на единичные. Решение будет верным, если результат перемножения будет равен нулю.

Ограничимся перемножением окончательной эпюры М на единичную сопромат задачи с решением (рис. 6.9, а, б):

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением

Определим номер двутавра. Из окончательной эпюры М следует, что сопромат задачи с решением

Требуемый момент сопротивления сечения

сопротивление материалов

Принимаем двутавр № 20, для которого сопротивление материалов

Для определения прогиба посередине пролета ВС (сечение К) следует в названном сечении основной системы приложить единичную силусопротивление материалов и построить единичную эпюру сопротивление материалов (рис. 6.10,а)

сопротивление материалов

Напомним, что:

  • единичная эпюра всегда прямолинейна;
  • площадь сопротивление материалов берется обязательно с криволинейной эпюры;
  • если обе эпюры (грузовая и единичная) прямолинейны, без перелома, площадь сопротивление материалов можно взять от любой из них;
  • если одна из эпюр изображается ломаной линией, она разбивается на ряд участков и площадь to берется именно с этой эпюры.

В настоящем задании на грузовой эпюре М — один расчетный участок, на единичной (ломаная прямая) — два. Площадьсопротивление материалов берут с каждого участка единичной эпюры, а ординаты у — с грузовой, расчленив ее, как показано на рис. 6.10, б.

Значения площадей и ординат:

сопротивление материалов

сопротивление материалов м (из подобных треугольников);

сопротивление материалов

Перемножив эпюры, получим

сопротивление материалов

откуда прогиб

сопротивление материалов

Знак «минус» при сопротивление материалов означает, что прогиб происходит в направлении, противоположном единичной силесопротивление материалов, т. е. вверх (рис. 6.8, д).

Ось изогнутой неразрезной балки (эпюра прогибов) изображена на рис. 6.8, д.

Обратите внимание на точки перегиба на эпюре сопротивление материалов и проследите согласование расположения ординат эпюры М с выпуклостью балки.

Теория напряженного и деформированного состояния. Исследование плоского напряженного состояния

Теория напряженного состояния ставит своей целью определить напряженное состояние исследуемого твердого тела. Напряженное состояние деформируемого твердого тела считается определенным, если определено напряженное состояние в каждой его точке. Напряженное состояние в некоторой точке считается определенным, если определены все напряжения по всем площадкам, образующим данную точку. При этом точка представляется как элементарный объем, ограниченный со всех сторон элементарными площадками.

Когда говорят об исследовании напряженного состояния, понимают вычисление по заданным на взаимно перпендикулярных площадках напряжениям напряжений на площадках произвольной ориентации, определение главных площадок и главных напряжений, площадок, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.

Задача №7.6

По граням элемента, выделенного из нагруженного тела, действуют напряжения, показанные на рис. 7.12, а.

Определить положение главных площадок, значения главных напряжений и установить вид напряженного состояния.

сопротивление материалов

Решение:

Определим значения главных напряжений:

сопротивление материалов

Положение главной площадки с напряжением сопротивление материалов

сопротивление материалов

Угол сопротивление материалов отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, так как угол положительный.

На рис. 7.12, б по вычисленным значениям показаны положения главных площадок и направления главных напряжений.

Анализ полученных значений главных напряжений показывает, что рассмотренный элемент находится в условиях линейного напряженного состояния, так как отличным от нуля оказалось только одно главное напряжение сопротивление материалов (действует только в одном направлении)

Косой изгиб. Расчет двух опорной балки

Косым изгибом называется такой изгиб, при котором плоскость действия суммарного изгибающего момента в сечении балки не совпадает с главными плоскостями инерции Оху или Oxz. Различают два вида косого изгиба: плоский и пространственный. При плоском косом изгибе нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции. Эта плоскость называется силовой плоскостью, а линия ее пересечения с плоскостью поперечного сечения балки — силовой линией. При пространственном косом изгибе нагрузки действуют в различных плоскостях.

Двухопорной называют балку, удерживаемую в равновесии двумя шарнирными опорами. При этом одна из опор должна быть шарнирно-неподвижной другая шарнирно-подвижной. Часть балки расположенная между смежными опорами называется пролетом.

Задача №8.3

Определить размеры поперечного прямоугольного сечения деревянной двухопорной балки (рис. 8.7, а), подвергающейся изгибу в двух главных плоскостях, при заданном отношении сторон h/b = 1,4.

Расчетное сопротивление материала балки R = 12 МПа.

Виды опор балки в вертикальной и горизонтальной плоскостях однотипны.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается косому изгибу.

Определим реакции опор и построим эпюры изгибающих моментов в плоскостях действующей нагрузки.

Вертикальная плоскость (рис. 8.7, б):

сопротивление материалов

откуда сопротивление материалов Аналогично сопротивление материалов

сопротивление материалов

При z = 1,5 м

сопротивление материалов

при z = 2,5 м

сопротивление материалов

Горизонтальная плоскость (рис. 8.7, в):

сопротивление материалов

откуда сопротивление материалов аналогично сопротивление материалов

При z = 1,5 м

сопротивление материалов

при z = 2,5 м

сопротивление материалов

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 8.7, б и в. Подбор размеров сечения балки проведем из условия прочности в виде (8.3):

сопротивление материалов

В данном задании коэффициент

сопротивление материалов

Расчет должен производиться по наибольшему расчетному моменту сопротивление материалов.

Анализ эпюр изгибающих моментов показывает, что опасное сечение балки, где сочетание этих моментов самое неблагоприятное, неявно.

Исследуем сечение С и К:

в сечении С

сопротивление материалов

в сечении К

сопротивление материалов

Таким образом, опасным является сечение С, где сопротивление материалов сопротивление материалов

Требуемый момент сопротивления сечения балки из условия прочности будет

сопротивление материалов

Для прямоугольного поперечного сечения с учетом того, что h /b =1,4:

сопротивление материалов

откуда получим b = 17,9 см, h = 25,06 см.

Приняв конструктивно b = 18 см, k = 25 см вычислим значение максимального нормального напряжения по формуле (8.2):

сопротивление материалов

Размеры сечения определены верно. Моменты инерции принятого сечения

сопротивление материалов

Положение нейтральной оси в сечении С

сопротивление материалов

Положительное значение сопротивление материалов откладываем от оси X против хода часовой стрелки.

Эпюры нормальных напряжений сопротивление материалов от каждого изгибающего и суммарного момента приведены на рис. 8.7, г.

Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия). Внецентренное растяжение (сжатие) бруса

Изгиб с растяжением – частный случай сложного сопротивления, при котором на брус действуют продольные и поперечные нагрузки, пересекающие ось бруса.

Внецентренным растяжением (сжатием) называется такой вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении (сжатии), а смещена относительно продольной оси и остается ей параллельной.

Задача №8.6

На поперечном сечении колонны (рис. 8.13, а) определить точку приложения сжимающей силы F, наиболее удаленной от центра тяжести по оси Y, при которой в колонне не будет растягивающих напряжений.

сопротивление материалов

Построить ядро сечения и эпюру напряжений (в долях от F).

Решение:

Поскольку сила F должна быть приложена к колонне вне ее центра тяжести сечения, колонна будет подвергаться внецентренному сжатию.

Для отыскания точки приложения силы F воспользуемся формулами (8.8):

сопротивление материалов

Для определения необходимых геометрических характеристик рассматриваемое сложное сечение разделим на четыре простые фигуры: два прямоугольника и два треугольника (см. рис. 8.13, а). Площадь сечения

сопротивление материалов

Ордината центра тяжести сечения (относительно вспомогательной оси сопротивление материалов)

сопротивление материалов

Оси сопротивление материалови сопротивление материалов являются главными центральными осями сечения, так как сопротивление материалов — ось симметрии.

Моменты инерции относительно главных центральных осей сечения

сопротивление материалов

Радиусы инерции сечения относительно главных центральных осей

сопротивление материалов

Точка приложения силы F связана с положением нейтральной оси. Поскольку сила F находится на оси сопротивление материалов, нейтральная ось должна быть ей перпендикулярна.

Для выполнения условия задачи (в сечении не должно возникать растягивающих напряжений) нужно задаться двумя положениями нейтральной оси, совпадающими с верхней и нижней гранями сечения, и определить ординату точки приложения силы F.

В положении нейтральной оси по верхней грани сечения (рис. 8.13, б) ее ордината

сопротивление материалов

а ордината точки приложения силы F будет

сопротивление материалов

При положении и.о. по нижней грани сечения

сопротивление материалов

По условию задачи принимаем положение точки приложения силы F (точка К) выше центральной оси сопротивление материалов на расстоянии сопротивление материалов(см. рис. 8.13, а).

Для построения эпюры напряжений вычислим их значения (в долях от F) для крайних точек сечения:

сопротивление материалов

Условие задачи выполнено — в сечении нет растягивающих напряжений. Эпюра напряжений показана на рис. 8.13, б.

Для построения ядра сечения задаемся рядом последовательных положений нейтральной оси, касающихся контуров сечения и не пересекающих его. Для каждого ее положения вычисляются координаты сопротивление материалов а затем соответствующие данному положению нейтральной оси координаты точки приложения силы F, которые являются координатами точек ядра сечения сопротивление материалов

Для вычисления координат точек ядра сечения воспользуемся формулами (8.8).

Нейтральная ось в положении сопротивление материалов

сопротивление материалов

Нейтральная ось в положении 2-2 на главных центральных осях сопротивление материалов, сопротивление материалов отсекает отрезки, координаты которых сопротивление материалов необходимо определить используя подобие образовавшихся треугольников: ДВЕ, ДИЛ, ДОП (см. рис. 8.13, б):

сопротивление материалов

откуда а = 17,78 см;

сопротивление материалов

откуда

сопротивление материалов

Координаты ядра сечения

сопротивление материалов

Нейтральная ось в положении 3-3:

сопротивление материалов


Нейтральная ось в положении 4-4:

сопротивление материалов

Положение нейтральной оси 5-5 симметрично положению 3-3, а положение 6-6 симметрично 2-2.

По полученным значениям сопротивление материалов построено ядро сечения (см. рис. 8.13, б).

Как видно по ядру сечения, наиболее удаленной от центра является точка 4. Приложив в этой точке силу F, получим наиболее допустимый ее эксцентриситет сопротивление материалов при котором в сечении будут напряжения одного знака. Это подтверждает ранее сделанный расчет.

В заключение заметим, что, прикладывая нагрузку F в пределах ядра сечения, по всему сечению получим напряжения одного знака.

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет сжатого стержня на устойчивость

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Расчет на устойчивость сжатых стержней является одной из наиболее актуальных и значимых задач в рамках курса «Сопротивление материалов».

Термин «устойчивость» охватывает очень широкий круг вопросов: от движения планет и течения жидкостей, до строительных конструкций и энергетических систем. В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость формы и устойчивость положения.

Под устойчивостью будем понимать способность элемента (конструкции) при воздействии на него (нее) сжимающих внешних нагрузок сохранять первоначально заданную форму равновесия, т.е. деформироваться таким образом, чтобы гарантировать его (ее) заданные эксплуатационные качества.

Задача9.3

Стальная колонна длиной l = 6 м, составленная из четырех равно-полочных уголков, загружена сжимающей силой F= 500 кН (рис. 9.6)

сопротивление материалов

Условия закрепления концов колонны в главных плоскостях сечения одинаковы. Жесткая решетка, соединяющая ветви колонны (показана пунктиром), обеспечивает их совместную работу.

Определить номер уголков и коэффициент запаса устойчивости, если R= 210 МПа.

Решение:

По условию закрепления концов колонны (шарниры) коэффициент приведения длины сопротивление материалов

Положение центра тяжести сечения очевидно. Оси XY являются главными центральными осями сечения колонны.

Подбор уголков сечения проведем по формуле (9.8):

сопротивление материалов

Поскольку площадь сечения неизвестна, расчет ведется путем предварительного выбора коэффициента сопротивление материалов с последующим его уточнением.

В первом приближении задаемся сопротивление материалов (середина интервала значений сопротивление материалов). Тогда из (9.8) площадь сечения колонны

сопротивление материалов

Площадь сечения одного уголка

сопротивление материалов

По этому значению выбираем ближайший номер уголка. Проверим сечение из уголков 80 х 80 х 8 мм. Из таблицы сортамента

сопротивление материалов

Для всего сечения: площадь сечения

сопротивление материалов

моменты инерции относительно главных центральных осей

сопротивление материалов

радиус инерции

сопротивление материалов

гибкость колонны

сопротивление материалов

Для данного значения гибкости по табл. 9.1 сопротивление материалов путем интерполяции вычислим табличное значение сопротивление материалов, соответствующеесопротивление материалов

для сопротивление материалов

для сопротивление материалов

для сопротивление материалов

сопротивление материалов

Вычислим напряжение в колонне:

сопротивление материалов

Расчетное (допустимое) сопротивление в колонне с учетом устойчивости

сопротивление материалов

При этом сечении колонны недонапряжение составляет

сопротивление материалов

Устойчивость колонны будет обеспечена, однако возможности материала полностью не используются. Размеры сечения можно уменьшить.

Рекомендуется последовательное приближение к правильному выбору уголков.

Во второй попытке задаемся значением сопротивление материалов:

сопротивление материалов

Из условия устойчивости для сечения колонны необходима площадь

сопротивление материалов

Для одного уголка

сопротивление материалов

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 7 мм, для которых

сопротивление материалов

Для всего сечения

сопротивление материалов

Напряжение в колонне

сопротивление материалов

Расчетное сопротивление

сопротивление материалов

Недонапряжение составляет 16,2 %.

Поскольку площадь сечения уголков от номера к номеру изменяется непоследовательно (см. таблицу сортамента), после нескольких попыток выбора коэффициента сопротивление материалов целесообразно перейти к логическому выбору номера уголка.

После второго приближения действующее напряжение в колонне ниже допустимого. Следовательно, площадь сечения можно уменьшить.

Проверим сечение из уголков 70 х 70 х 6 мм, для которых

сопротивление материалов

Для всего сечения:

сопротивление материалов

Напряжение в колонне сопротивление материалов расчетное сопротивление сопротивление материалов— недонапряжение составляет 3,5 %, что приемлемо.

Проверка сечения из уголков 75 х 75 х 5 мм с ближайшей меньшей площадью показала перенапряжение 5,8 %, что недопустимо.

Итак, принимаем сечение колонны из уголков 70 х 70 х 6 мм с приемлемым недонапряжением.

В завершение задания вычислим коэффициент запаса устойчивости принятого сечения колонны.

Так как гибкость колонны сопротивление материаловвоспользуемся формулами Ясинского.

Критическое напряжение

сопротивление материалов

Критическая сила

сопротивление материалов

Коэффициент запаса устойчивости

сопротивление материалов

Продольный и продольно — поперечный изгиб. Расчет на прочность балки при продольно – поперечном изгибе

Продольно-поперечным называют изгиб при котором к брусу приложены одновременно изгибающие (поперечные) и сжимающие (продольные) нагрузки.

Продольно-поперечным изгибом называется сочетание поперечного изгиба со сжатием или растяжением бруса. При расчете на продольно-поперечный изгиб вычисление изгибающих моментов в поперечных сечениях бруса производится с учетом прогибов его оси.

Задача №9.6

Стальная балка, шарнирно опертая на концах, нагружена поперечной и продольной нагрузками (рис. 9.10, а).

сопротивление материалов

Определить номер двутавра, если R = 210 МПа.

Решение:

Рассматриваемая балка подвергается продольно-поперечному изгибу. Сначала надо учесть воздействие поперечной нагрузки, а затем — дополнительно от продольной.

Определим номер двутавра от воздействия поперечной силы F = 50 кН, вызывающей плоский изгиб балки. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 9.10, б.

Максимальный изгибающий момент в середине пролета

сопротивление материалов

Из условия прочности по нормальным напряжениям требуемый момент сопротивления сечения

сопротивление материалов

Наметим предварительно двутавр № 22, для которого

сопротивление материалов

Прогиб в середине пролета балки Do от поперечной нагрузки F в плоскости ее действия определяется по формуле (см. справочник)

сопротивление материалов

Проверим намеченный номер двутавра на воздействие продольной нагрузки сопротивление материалов, создающей дополнительный прогиб и дополнительный изгибающий момент.

Вычислим полный прогиб и от поперечной и продольной сил по формуле (9.11) в плоскости действия поперечной силы, т. е. в вертикальной плоскости:

сопротивление материалов

где эйлерова сила

сопротивление материалов

Еще раз заметим, что при вычислении F, использовалось значение момента инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости действия поперечной нагрузки, т. е. значение сопротивление материалов.

Максимальный изгибающий момент в опасном сечении балки по (9.12)

сопротивление материалов

Проверку прочности предварительно намеченного двутавра проведем по формуле (9.13):

сопротивление материалов

Перенапряжение составляет 20,8 %.

Проверим пригодность ближайшего номера двутавра с большими геометрическими характеристиками — это № 24. Его характеристики

сопротивление материалов

Повторим вычисления расчетных параметров в установленном ранее порядке. Прогиб от поперечной нагрузки

сопротивление материалов

Эйлерова сила

сопротивление материалов

Полный прогиб балки

сопротивление материалов

Максимальный изгибающий момент

сопротивление материалов

Максимальное нормальное напряжение

сопротивление материалов

Условию прочности двутавр № 24 удовлетворяет. Проверим устойчивость балки из двутавра № 24 в горизонтальной плоскости (плоскости наибольшей гибкости, так как сопротивление материалов

Гибкость балки

сопротивление материалов

коэффициент сопротивление материалов

Допускаемая продольная сила

сопротивление материалов

Принимаем окончательно двутавр № 24.

Задачи динамики. Учет сил инерции. Расчет балки на прочность при изгибе

Задачи динамики являются важной темой курса сопротивление материалов. При статическом действии нагрузки возрастают от нуля до конечного значения настолько медленно, что ускорениями частиц тела при деформировании можно пренебрегать. Поэтому в статике считается, что внешние и внутренние силы взаимно уравновешены. В процессе эксплуатации конструкция имеет дело с динамической нагрузкой, достаточно быстро меняющей свое значение или положение. Динамические нагрузки вызывают большие ускорения частиц тела при деформировании, и поэтому задачи динамики учитывают силы инерции помимо внешних и внутренних сил.

Сила инерции, как известно, равна произведению массы материальной точки (или системы) на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. Силы инерции, так же как и собственный вес, представляют собой объемные силы, так как приложены к каждой точке тела.

При расчете изгибаемых элементов строительных конструкций на прочность применяется метод расчета по предельным состояниям. В большинстве случаев основное значение при оценке прочности балок и рам имеют нормальные напряжения в поперечных сечениях. При этом наибольшие нормальные напряжения, действующие в крайних волокнах балки, не должны превышать некоторой допустимой для данного материала величины.

Задача №10.3

На балке, состоящей из двух двутавров № 20, установлена лебедка массой сопротивление материаловдля подъема груза массой сопротивление материалов на тросе сечением сопротивление материалов (рис. 10.4, а).

Для данной конструкции определить максимально допустимое ускорение подъема, если расчетное сопротивление для двутавра R = 210 МПа, для троса R = 150 МПа.

Собственный вес балки и троса не учитывать.

Решение:

Момент сопротивления двутавра № 20 сопротивление материалов

Нагрузкой на трос является вес поднимаемого груза:

сопротивление материалов
сопротивление материалов

Напряжение в тросе от статического действия груза весом сопротивление материалов

сопротивление материалов

Максимальное допускаемое напряжение в тросе сопротивление материалов

Максимальный допускаемый коэффициент динамичности для троса

сопротивление материалов

По формуле (10.1)

сопротивление материалов

откуда максимальное допустимое ускорение подъема груза

сопротивление материалов

Нагрузкой для балки являются: вес лебедки

сопротивление материалов

вес поднимаемого груза

сопротивление материалов

Расчетная схема балки и эпюра изгибающих моментов показаны на рис. 10.4, б.

Напряжение в балке от статического действия нагрузки

сопротивление материалов

Для балки максимальный допустимый коэффициент динамичности

сопротивление материалов

Из формулы (10.1) максимальное допустимое ускорение подъема груза

сопротивление материалов

Для конструкции, исходя из прочности троса, принимаем наи-большее допустимое ускорение подъема груза сопротивление материалов

Задачи динамики. Удар. Расчет на прочность и жесткость консольной балки при ударной нагрузке

Удар — это происходящее в результате соприкосновения взаимодействие движущихся тел. Удар характеризуется резким изменением скоростей частиц взаимодействующих тел за малый промежуток времени, при этом сила удара достигает очень большого значения. В качестве примера можно привести действие кузнечного молота на кусок металла, удар падающего груза при забивке свай, воздействие колеса вагона на рельс при перекатывании через стык.

Динамические явления характеризуются прежде всего наличием инерционных сил при движении элементов конструкций, сравнимых по значению с вешними нагрузками на систему, а так же переменных во времени таких характеристик как скорость, ускорение, нагрузки и деформации.

Во время удара происходит резкое изменение скоростей точек системы, а так же кратковременно возникают большие усилия. С точки зрения механики энергия удара обеспечивает возможность многократного увеличения нагрузки, действующей на конструкцию при малых перемещениях.

Условием возникновения удара является наличие относительной скорости взаимодействующих тел, в результате чего происходит обмен импульсами и энергией. При этом возникают местные деформации и напряжения, распространяющиеся волной со звуковой или сверхзвуковой скоростью. В настоящее время задачи динамики решаются преимущественно методом конечных элементов. Воспользовавшись нашим онлайн расчетом можно рассчитать ударные нагрузки, перемещения и время соударения стержней, балок и наиболее распространенной общей вязко-упругой модели.

Задача10.6

К деревянной консольной балке прямоугольного поперечного сечения (h = 20 см, b = 10 см), рис. 10.9, на свободном конце внезапно приложен груз массой т = 200 кг.

сопротивление материалов

Определить предельную длину балки, если R = 11 МПа. Массу балки не учитывать.

Решение:

Вес груза

сопротивление материалов

Момент сопротивления сечения балки

сопротивление материалов

При внезапном приложении груза принимается Н = 0. Тогда из формулы (10.2) динамический коэффициент сопротивление материалов

Из условия прочности балки сопротивление материалов максимально допустимое статическое напряжение

сопротивление материалов

Исходя из схемы балки и вида нагрузки, максимальный изгибающий момент будет в защемлении и определится выражением

сопротивление материалов

Максимальное нормальное напряжение в защемлении

сопротивление материалов

откуда наибольшая допустимая длина балки

сопротивление материалов

При этой длине прочность балки обеспечена. Возникает вопрос задачи: как взаимосвязаны динамические напряжения с длиной балки при внезапном приложении груза и почему? (Пропорционально, так как сопротивление материалов

Лекции по сопротивлению материалов

Сопротивление материалов — это почти первая общая инженерная дисциплина, с которой сталкивается студент. Это наука о прочности и жесткости элементов и конструктивных деталей, которая ставит задачу разработки простых, практических методов расчета типичных, наиболее распространенных конструктивных элементов.

Сопротивление материалов относится к фундаментальным дисциплинам общей инженерной подготовки специалистов с высшим техническим образованием. Без фундаментальных знаний о сопротивлении материалов невозможно создать различные типы машин и механизмов, гражданские и промышленные конструкции, мосты, линии электропередач и антенны, ангары, корабли, самолеты и вертолеты, турбомашины и электрические машины, ядерные энергетические установки, ракетную и реактивную технику и т.д., а также разработать методики расчета наиболее распространенных элементов конструкций.

Общие понятия, законы, формулы и определения сопротивления материалов

  1. Изгиб прямых стержней
  2. Типы опор и типы балок
  3. Вычисление внутренних сил при поперечном изгибе балки
  4. Дифференциальная зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью нагрузки
  5. Построение эпюр внутренних сил способом составления аналитических выражений
  6. Построение эпюр внутренних сил в балках способом характерных сечений
  7. Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах
  8. Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при чистом изгибе
  9. Закон парности касательных напряжений
  10. Касательные напряжения при поперечном изгибе
  11. Проверка прочности балки при поперечном изгибе
  12. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
  13. Метод непосредственного интегрирования
  14. Определение прогибов и углов поворота в балках методом начальных параметров
  15. Напряженное и деформирование состояние в точке
  16. Правила расстановки индексов и знаков
  17. Напряжения на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии
  18. Главные площадки и главные напряжения
  19. Графическое представление плоского напряженного состояния
  20. Понятие о траекториях главных напряжений
  21. Главные деформации и главные оси деформации
  22. Закон Гука при плоском и объемном напряженных состояниях
  23. Понятие о чистом сдвиге
  24. Анализ напряженного состояния при чистом сдвиге
  25. Закон Гука при чистом сдвиге
  26. Зависимость между модулем упругости при растяжении (сжатии) и модулем сдвига
  27. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на срез
  28. Расчет болтовых (заклепочных) соединений на смятие
  29. Расчет сварных соединений — угловых фланговых швов

Кручение

Основные понятия. Вычисление крутящих моментов

На кручение работают многие детали машин и механизмов, некоторые элементы строительных конструкций. Для вычисления крутящих моментов используется метод сечений.

Правило знаков:

Внешний момент вызывает положительный крутящий момент, если со стороны внешней нормали сечения он виден направленным по ходу часовой стрелки.

  1. Особенности деформирования стержня круглого сечения при кручении
  2. Определение касательных напряжений при кручении сечений круглого сечений
  3. Деформации при кручении стержней круглого сечений
  4. Анализ напряженного состояния и вид разрушения стержней при их кручении в зависимости от материала
  5. Расчет на прочность и жесткость стержни круглого или кольцевого сечений при кручении

Теории прочности

Основные понятия

Многие элементы строительных конструкций испытывают сложное напряженное состояние. Проведение испытаний материалов при сложном напряженном состоянии затруднительно или невозможно. Поэтому требуется создать такую методику расчета, которая позволила бы оценить степень опасности любого напряженного состояния, основываясь на результатах испытания при простом растяжении, сжатии, кручении и сдвиге. Такими методиками являются теории прочности. Для суждения о наступлении предельного состояния необходимо знать причину разрушения материала. Этот вопрос является сложным и до конца еще не решенным.

В каждой теории прочности выдвигается своя причина (критерий) разрушения. Поэтому и существуют десятки теорий прочности, а в идеале должна быть только одна.

  1. Теория прочности Галилея-Лейбница, Клебша-Ренкина. Первая теория прочности
  2. Теория прочности Мариотта-Грасгофа, Сен-Венана. Вторая теория прочности
  3. Теория прочности Кулона. Третья теория прочности

Статически неопределимые системы

Основные понятия

Статически неопределимая система в сопромате — это геометрически неизмененная система, в которой реакции связи (силы в опорных скобах, стержнях и т. д.) не могут быть определены с использованием только статических уравнений, так как требуется совместное рассмотрение последних с дополнительными уравнениями, характеризующими деформации этой системы.

Статически неопределимая система характеризуется наличием дополнительных связей, которые могут быть удалены без нарушения геометрической неизменности системы. Число дополнительных уравнений, равное количеству дополнительных связей (дополнительных неизвестных), называется степенью статической неопределенности системы. Для расчета используются метод сил и метод перемещений.

  1. Статически неопределимые системы
  2. Порядок расчета статически неопределимого ступенчатого стержня
  3. Температурные напряжения в статически неопределимом ступенчатом стержне
  4. Расчет статически неопределимого стержни круглого или кольцевого сечения при кручении
  5. Расчет статически неопределимых стержневых систем
  6. Теорема о взаимности работ внешних сил
  7. Теорема о взаимности работ внутренних сил
  8. Теорема о взаимности перемещений
  9. Определение перемещений методом Максвелла-Мора
  10. Вычисление интеграла Мора способом Верещагина
  11. Разложение эпюр на составляющие треугольной и параболической форм
  12. Статически неопределимые системы
  13. Понятие об основной системе метода сил
  14. Определение перемещений в статически неопределимых балках
  15. Учет осадок опор при расчете неразрезных балок

Сложное сопротивление

Основные понятия

Сложное сопротивление в сопромате— это одновременное воздействие на балку нескольких простых типов деформаций: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб. Например, совместное действие напряжения и кручения.

  1. Сложное сопротивление
  2. Косой изгиб. Общие понятия
  3. Определение напряжений при косом изгибе
  4. Определение положения нейтральной оси при косом изгибе
  5. Определение прогибов балки при плоском и пространственном косых изгибах
  6. Построение эпюр внутренних сил при косом изгибе балки
  7. Порядок расчета на прочность балки при косом изгибе
  8. Внецентренное растяжение (сжатие)
  9. Определение нормальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)
  10. Определение положения нулевой линии (нейтральной оси) при внецентренном растяжении (сжатии)
  11. Свойства нулевой линии
  12. Ядро сечения
  13. Свойства ядра сечения
  14. Примеры построения ядра сечения
  15. Порядок расчета внецентренно сжатой колонны
  16. Изгиб с растяжением или сжатием
  17. Изгиб с кручением
  18. Расчет пространственного ломаного стержни
  19. Устойчивость сжатых стержней
  20. Основные понятия об устойчивости
  21. Метод Эйлера определения критической сжимающей силы для стержня
  22. Влияние способов закрепления сжатого стержня на величину критической силы
  23. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
  24. Расчет сжатого стержни любой гибкости
  25. Практический расчет сжатых стержней
  26. Динамический расчет строительных конструкций
  27. Учет сил инерции при расчете троса
  28. Расчет на удар
  29. Прочность при переменных напряжениях
  30. Виды циклов напряжений
  31. Понятие о пределе выносливости
  32. Диаграмма предельных амплитуд
  33. Факторы, влияющие на величину предела выносливости
  34. Учет пластических деформаций при расчете элементов
  35. Пластический изгиб статически определимой балки

Задачи с решением по сопромату

Расчет стержня переменной жесткости на статические нагрузки

Задача №1:

Стержень переменной жесткости, закрепленный верхним концом и загруженный двумя центрально приложенными силами — сила решение задач по сопротивлению материалов = 72 кН, направленная вверх, и решение задач по сопротивлению материалов = 48 кН, направленная вниз. Стержень состоит из двух ступеней. Площадь поперечного сечения верхней ступени равна решение задач по сопротивлению материалов = 6решение задач по сопротивлению материалов а площадь поперечного сечения нижней ступени — решение задач по сопротивлению материалов =8решение задач по сопротивлению материалов. Модуль упругости материала стержня Е = 200ГПа. Размеры и место приложения сил показаны на рисунке 151.

Решение:

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 151. Стержень переменной жесткости, загруженный двумя сосредоточенными силами, и эпюры внутренних сил

Продольную ось стержня Z направим от опоры в сторону стержня — в данном случае это вниз. Пронумеруем особенные сечения, начиная от опоры. Направим неизвестную реакцию опоры решение задач по сопротивлению материалов в любую сторону, например, вверх.

Составим уравнение статического равновесия и решим его

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «минус» означает, что направление реакции решение задач по сопротивлению материалов выбрано ошибочно. В действительности реакция решение задач по сопротивлению материалов направлена вниз. Внесем исправления на рисунке 151, и значение реакции будем считать положительным.

Используя метод сечений, определим продольную силу на участке 1-2. Для этого проведем сечение решение задач по сопротивлению материалов, в произвольном месте участка 1-2. Это сечение разделит стержень на две части решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов. Рассмотрим часть 1-решение задач по сопротивлению материалов. Будем полагать, что в сечении решение задач по сопротивлению материалов действует растягивающая сила решение задач по сопротивлению материалов (рис. 152, а). Составим уравнение статического равновесия выбранной части стержня и решим его

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «минус» означает, что мы ошиблись, предполагая продольную силу растягивающей. В действительности продольная сила на участке 1-2 вызывает сжатие материала. В отличие от внешних сил, для внутренней силы решение задач по сопротивлению материалов знак «минус» сохраняется.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 152. Отсеченные части стержня сечениями, проведенными на разных ею участках: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3; в) на участке 3-4

Затем, в произвольном месте участка 2-3 проведем сечение и рассмотрим верхнюю от сечения часть стержня (рис. 152, б). Составим уравнение статического равновесия для рассматриваемой части стержня и решим его.

решение задач по сопротивлению материалов

Знак «плюс» означает, что продольная сила решение задач по сопротивлению материалов, как и предполагалось, растягивает материал участка 2-3.

Проведем сечение в произвольном месте участка 3-4 (рис.152, в) и рассмотрим верхнюю часть стержня. Составим уравнение равновесия и решим его.

решение задач по сопротивлению материалов

Очевидно, что материал участка 3-4 также испытывает растяжения.

На участке 4-5 стержня нет приложенных сил, поэтому продольная сила на этом участке равна нулю и материал его и не растягивается и не сжимается.

По результатам расчета построим эпюру продольных сил (рис. 151). Вычислим значения нормальных напряжений на участках стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Построим эпюру нормальных напряжений (рис. 151). Используя закон Гука, вычислим деформации (изменения длины) участков стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня, используя реккурентную формулы решение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Построим эпюру перемещений (рис. 151). Отметим, перемещения со знаком плюс совпадают с направлением продольной оси Z. Направление перемещений можно указывать и стрелками.

Расчет плоской стержневой системы

Задача №2:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стержней 1 и 2, а также двух абсолютно жестких элементов, соединенных друг с другом и с опорами шарнирами. Модуль упругости и расчетное сопротивление принято равными Е = 200ГПа, R=210МПа . Исходные данные приведены на рисунке 153.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 153. Схема плоской стержневой системы (а) и обозначение неизвестных
реакций и продольных сил (
б)

Решение:

Разрежем стержень 1 и стержень 2 одним сечением, разделив систему на две части — верхнюю и нижнюю. Будем полагать, что оба деформируемые стержни растянуты продольными силами решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов. То есть эти продольные силы считаем положительными. В результате имеем восемь неизвестных решение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материаловрешение задач по сопротивлению материалов

Вычислим угол наклона второго стержня.

решение задач по сопротивлению материалов


Из уравнения статического равновесия верхней части стержневой системы определим реакции и продольную силу решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Из уравнений равновесия нижней части стержневой системы вычислим реакции и продольную силу решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Реакции на опоре К определим из уравнениями равновесия узла К на горизонтальную и на вертикальную оси.

решение задач по сопротивлению материалов

В результате расчета установлено, что оба деформированные стержни сжаты. Значения реакций положительные, значит их направление выбрано правильно. Если значения какой-либо реакции оказалась бы отрицательной, то следует изменить ее направление на противоположное и считать ее положительной. В данном примере все реакции оказались положительными. Поэтому ничего менять не следует.

Проверим соблюдение условий равновесия всей стержневой системы.

решение задач по сопротивлению материалов

Условие равновесия выполняется. Из условия прочности

решение задач по сопротивлению материалов

определим требуемую площадь поперечного сечения для первого деформируемого стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L56x4. Тогда площадь поперечного сечения первого стержня равна решение задач по сопротивлению материалов = 2 • 4,38 = 8,76решение задач по сопротивлению материалов

Проверим по условию прочности первый стержень

решение задач по сопротивлению материалов

Недогрузка первого стержня составляет

решение задач по сопротивлению материалов

Из условия прочности

решение задач по сопротивлению материалов

определим требуемую площадь поперечного сечения для второго деформируемого стержня.

решение задач по сопротивлению материалов

Из таблицы прокатных равнополочных уголков подберем два уголка так, чтобы их суммарная площадь была бы не меньше требуемой. Принимаем два уголка 2L60x6. Тогда площадь поперечного сечения второго стержня равна решение задач по сопротивлению материалов = 2 • 6,92 = 13,84решение задач по сопротивлению материалов

Проверим по условию прочности второй стержень

решение задач по сопротивлению материалов

Недогрузка второго стержня составляет

решение задач по сопротивлению материалов

Определим длину первого и второго деформируемых стержней

решение задач по сопротивлению материалов

Используя закон Гука, вычислим деформации первого и второго стержней.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки В и G, и их углы наклона решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов (рис. 185).

решение задач по сопротивлению материалов


Используя деформируемую схему с учетом упрощений, установим связь между перемещениями точек В и G и деформациями первого и второго стержней (рис. 154).

Вычислим перемещение точки В

решение задач по сопротивлению материалов

Из соотношения перемещений точек В и G

решение задач по сопротивлению материалов

найдем перемещение точки G

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим перемещения точки А.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 154. Деформированная схема плоской стержневой

Определение геометрических характеристик сечения сложной геометрической формы

Задача №3:

Сечение сложной геометрической формы (рис. 155). Требуется определить главные центральные моменты инерции.

Решение:

Разделим сечение на части с простыми геометрическими формами — прямоугольники, треугольники и круги (рис. 155). Выберем вспомогательные оси координат и обозначим их буквами X, Y.

Вычислим площади, определим координаты центров тяжестей частей сечения, их осевые и центробежные моменты инерции: — первая часть сечения — треугольник

решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 155. Сечение сложной геометрической формы. Размеры в см.
  • вторая часть сечения — круг
решение задач по сопротивлению материалов

третья часть сечения — прямоугольник

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим площадь всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим статические моменты всего сечения относительно вспомогательных осей X и Y

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим координаты центра тяжести всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Покажем на рисунке центр тяжести и проведем центральные оси решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов параллельно вспомогательным осям X и Y.

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения в центральной системе координатных осейрешение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Проверим положение центра тяжести сечения. Для этого используем утверждение, что статический момент любого сечения относительно любой центральной оси равен нулю.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим моменты инерции всего сечения относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов, параллельных вспомогательным осям X и У.

решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим главные центральные моменты инерции решение задач по сопротивлению материалови решение задач по сопротивлению материалов всего сечения

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим угол поворота главных осей инерции относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Ось V откладываем от оси решение задач по сопротивлению материалов на угол решение задач по сопротивлению материалов, так как решение задач по сопротивлению материалов так, чтобы она проходила через отрицательные квадранты, так как решение задач по сопротивлению материалов.

Возможно вам будет полезна страница:

Помощь по сопромату с решением задач на заказ

Определение геометрических характеристик сечения, составленного из прокатных профилей

Задача №4:

Сечение, составленное из двутавра №22, листа 1,6×22 см и неравнополочного уголка L 125x80x12 (рис. 159).

Требуется определить геометрические характеристики сечения -положение центра тяжести, главные центральные моменты инерции и положение главных центральных осей инерции.

Решение:

Вычертим сечение в масштабе и укажем положение центров тяжестей частей сечения. Пронумеруем части сечения и выпишем их геометрические характеристики из таблиц прокатных профилей.

решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 156. Эскиз сечении двутавра и ею геометрические характеристики
решение задач по сопротивлению материалов
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 158. Эскиз сечения неравнополочного уголка и его геометрические характеристики
решение задач по сопротивлению материалов
Рис. 159. Составное сечение

Выберем вспомогательные оси координат X и У.

Используя проставленные на рисунке размеры (рис.159), определим координаты центров тяжестей частей сечения во вспомогательной системе координатных осей Х и У.

решение задач по сопротивлению материалов

В соответствии с проставленными номерами частей сечения, пронумеруем и обозначим их площади следующим образом.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим площадь всего сечения.

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим статические моменты сечения относительно вспомогательных осей координат X и У.

решение задач по сопротивлению материалов

Найдем координаты центра тяжести всего сечения.

решение задач по сопротивлению материалов

Проведем центральные оси координат решение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов, параллельные вспомогательным осям (рис. 159).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральныз осей.

решение задач по сопротивлению материалов

Проверим найденные координаты, используя доказанное утверждение, что статический момент относительно центральных осей сечения равен нулю.

решение задач по сопротивлению материалов

Условие равенства нулю подтверждается. Следовательно, координаты центра тяжести сечения найдены правильно.

Внесем коррективы в обозначения моментов инерции частей сечения в соответствии с их положением. В сечении (рис.159) ось решение задач по сопротивлению материалов двутавра направлена вдоль его стенки, а на эскизе (рис. 156) эта ось обозначена как Y. Поэтому следует принимать решение задач по сопротивлению материалов равным решение задач по сопротивлению материалов. Аналогично для оси решение задач по сопротивлению материалов -следует принимать решение задач по сопротивлению материалов, равным решение задач по сопротивлению материалов . Так же рассуждая, внесем следующие коррективы для первой, второй и третьей частей сечения. В итоге получим:

решение задач по сопротивлению материалов

Вычислим моменты инерции сечения относительно центральных осей решение задач по сопротивлению материалови решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Определим главные центральные моменты инерции сечениярешение задач по сопротивлению материалов и решение задач по сопротивлению материалов

решение задач по сопротивлению материалов

Найдем угол наклона главных центральных осей инерции решение задач по сопротивлению материаловотносительно центральных осей решение задач по сопротивлению материаловс и решение задач по сопротивлению материалов.

решение задач по сопротивлению материалов

Покажем на рисунке (рис.159) положение главных центральных осей инерции. Ось V, относительно которой главный момент инерции меньший, отложим от осирешение задач по сопротивлению материалов на угол решение задач по сопротивлению материалов так как решение задач по сопротивлению материалов . При этом она должна проходить через отрицательные квадранты, потому что центробежный момент инерции сечения меньше нуля решение задач по сопротивлению материалов. Ось U с большим главным центральным моментом инерции проведем через центр тяжести сечения перпендикулярно оси V.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность шарнирно опертой балок

Задача №5:

Приняты следующие исходные данные. Деревянная шарнирно закрепленная балка прямоугольного сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R=13 МПа и решение задач по сопромату=2 МПа. Модуль упругости материала балки E=10 ГПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 160).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать размеры сечения балки, приняв отношение высоты к ширине сечения равным трем.

решение задач по сопромату
Рис. 160. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой балке

Решение:

Вначале определим все внешние силы — реакции опор. Будем предполагать, что реакции опоррешение задач по сопроматуи решение задач по сопромату направлены вверх. Отметим, что горизонтальная реакция решение задач по сопромату равна нулю, так как все нагрузки, приложенные к балке, вертикальные.

Составим уравнения статического равновесия и определим значения реакций опоррешение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Обе реакции получились положительными. Следовательно, предположение о том, что они направлены вверх правильное.

Определеим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях на балке. Для этого используем метод сечений.

На всех рисунка (рис.161) выбраны направления поперечных сил и изгибающих моментов такими, которые соответствуют их положительным значениям.

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис. 161. Рассмотренные чисти балки
при
использовании метода сечений:
а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее

сечение в точке К, расположенной в том месте балки, где поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент принимает экстремальное значение (рис. 161, и). Удаленность этой точки от левого края участка определяется отношением значения поперечной силы на этом конце участка к интенсивности распределенной нагрузки решение задач по сопроматуНайдем значение изгибающего момента в сечении, проведенном через точку К.

решение задач по сопромату

По найденным значениям поперечных сил и изгибающих моментов строим их эпюры (рис. 160).

Момент сопротивления прямоугольного сечения (рис. 160) с учетом отношения высоты к его ширине выражается формулой

решение задач по сопромату

Из условия прочности при изгибе

решение задач по сопромату

выразим требуемую ширину сечения, принимая расчетное значение изгибающего момента решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

В соответствии с заданным отношением высоте сечения к его ширине вычислим требуемую высоту сечения.

решение задач по сопромату

Вычислим момент инерции, момент сопротивления и статический момент отсеченной части сечения.

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по нормальным и по касательным напряжениям, принимая в качестве расчетных значений поперечной силырешение задач по сопромату и значение изгибающего момента решение задач по сопромату.

По нормальным напряжениям

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

По касательным напряжениям (по формуле Журавского)

решение задач по сопромату

Для изготовления использовать клееную деревянную балку.

Построение эпюр внутренних сил и расчет на прочность защемленной балки

Задача №6:

Деревянная защемленная одним концом деревянная балка круглого сечения. Расчетные сопротивления на сжатие (растяжение) и сдвиг соответственно равны R= 13 МПа и решение задач по сопромату=2 МПа. Балка загружена сосредоточенными силой и моментом, а также равномерно распределенной нагрузкой (рис. 162).

Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, из условия прочности подобрать диаметр сечения балки, соблюдая условие решение задач по сопроматуесли для одной балки это условие не соблюдается, то принять две или три или большее количество балок.

решение задач по сопромату
(Рис.162) Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Решение:

Из условия равновесия определим реакции опор решение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Используя метод сечений (см. предыдущий пример), вычислим поперечные силы и изгибающие моменты в помеченных буквами сечениях балки и построим их эпюры (рис. 162).

Расчетные поперечная сила и изгибающий момент, соответственно, равны решение задач по сопромату и решение задач по сопромату.

Из условия прочности

решение задач по сопромату

определим диаметр сечения балки, если использована она одна n=1

решение задач по сопромату

Ограничение по размеру сечения не выполняется. Поэтому примем две балки n=2.

решение задач по сопромату

Условие выполняется. Поэтому принимаем две балки диаметром D=30 см. Вычислим момент сопротивления, статический момент отсеченной части и момент инерции сечения одной балки.

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям.

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям.

решение задач по сопромату

Расчет двутавровой балки на прочность и жесткость

Задача №7:

Подобрать прокатный двутавр для балки (рис. 163), вычислить прогибы и проверить по условию жесткости. Балка и исходные данные приведены на рисунке 163.

решение задач по сопромату
Рис. 163. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов в шарнирно опертой двутавровой балке

Решение:

Составим уравнения равновесия и вычислим реакции опор. Будем полагать, что реакция на левой опоре направлена вверх, а на правой — вниз.

решение задач по сопромату

Используя метод сечений, определим поперечные силы и изгибающие моменты в отмеченных сечениях балки (рис. 164).

решение задач по сопромату
Рис. 164. Рассмотренные части балки при использовании метода сечений: а) правее точки 1; б) левее точки 2; в) правее точки 2; г) левее точки 3;
д) левее точки 4; е) в точке К
  • сечение правее точки 1 (рис. 164, а)
решение задач по сопромату
  • сечение слева от точки 2 (рис. 195, б)
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату

— сечение справа от точки 2 (рис. 164, в)

решение задач по сопромату

— сечение слева от точки 3 (рис. 164, г)

решение задач по сопромату

сечение справа от точки 3 — значение поперечной силы такое же, как и в сечении, расположенной в точке 4 слева (рис. 164, д), а изгибающего момента такое же, как и в сечении 3 слева (рис. 164, г)

решение задач по сопромату

-сечение слева от точки 4 (рис. 164, д)

решение задач по сопромату

-сечение в точке К (рис. 164, е) — расстояние от точки А до точки К равно отношению поперечной силы на рассматриваемом участке к интенсивности равномерно распределенной нагрузки решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Найденные значения поперечных сил и изгибающих моментов откладываем на графике и соединяем эти точки по правилам построения эпюр (рис. 163).

Расчетными значениями поперечных сил и изгибающих моментов, согласно построенным эпюрам, назначаем решение задач по сопромату

Из условия прочности

решение задач по сопромату

найдем требуемый момент сопротивления

решение задач по сопромату

Из таблицы прокатных профилей выберем двутавр, у которого момент сопротивления равен или больше требуемого и выпишем необходимые для дальнейшего расчета геометрические характеристики его поперечного сечения.

Двутавр №20: осевой момент сопротивления решение задач по сопромату; осевой момент инерции решение задач по сопромату; статический момент отсеченной части решение задач по сопромату; толшина стенки решение задач по сопромату.

Проверим выполнение условия прочности по нормальным напряжениям

решение задач по сопромату

Недогрузка составляет

решение задач по сопромату

Проверим выполнение условия прочности по касательным напряжениям

решение задач по сопромату

Подготовим балку для вычисления прогибов согласно требованиям метода начальных параметров:

  • пронумеруем участки балки слева направо;
  • дополним распределенную нагрузку до конца балки;
  • приложим компенсирующую нагрузку.
решение задач по сопромату
Рис. 165. Балка, подготовленная для определения прогибов методом
начальных параметров

Составим универсальное уравнение упругой оси балки

решение задач по сопромату

Начальные параметры определим по условию закрепления балки 1) при z = а = 2 м V= 0, участок I

решение задач по сопромату

2) при z = а+Ь+с = 2+4+2=8 м V= 0, участок III

решение задач по сопромату

Решим полученную систему уравнений и найдем начальные параметры

решение задач по сопромату

Вычислим прогиб балки в точке С ( z = 0 )

решение задач по сопромату

Вычислим прогиб балки в точке D ( z = 6м)

решение задач по сопромату

Проверим по условию жесткости

решение задач по сопромату

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов в точках С и D учитывая, что на опорах прогибы равны нулю и в соответствии с эпюрой изгибающих моментов построим упругую ось балки.

Построение эпюр внутренних сил в плоских рамах

Задача №8:

Дана плоская рама, загруженная сосредоточенным моментом, сосредоточенной силой и равномерно распределенной нагрузкой (рис. 166).

Требуется построить эпюры продольных и поперечных сил, а также эпюру изгибающих моментов.

Решение:

Вначале определим все внешние силы, то есть реакции опор. Для этого составим уравнения статического равновесия и решим их.

решение задач по сопромату
Рис. 166. Плоская рама и эпюра внутренних сил в ней
решение задач по сопромату
решение задач по сопромату

Для удобства пронумеруем сечения, в которых следует определить внутренние силы (рис. 166). Внутренние силы в раме определим, используя метод сечений (рис. 167):

сечение 1 (рис. 167, а)

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис. 167. Рассмотренные части рамы при использовании метода сечений

сечение 2 (рис. 167,б)

решение задач по сопромату

сечение 3 (рис. 198, в)

решение задач по сопромату

сечения 4 (рис. 198, г)

решение задач по сопромату

сечение 5 (рис. 198, д)

решение задач по сопромату

сечение 6 (рис. 198, е)

решение задач по сопромату

сечение 7 (рис. 198, .ж)

решение задач по сопромату

сечение 8 (рис. 198, з)

решение задач по сопромату

Найденные значения внутренних сил в отмеченных номерами сечениях откладываем на графике и строим эпюры продольных сил, поперечных сил и изгибающих моментов согласно правилам. На рисунке 166 показан узел С и все силы, приложенные к нему. Очевидно, что равновесие узла выполняется.

Возможно вам будет полезна страница:

Сборник задач по сопротивлению материалов

Исследование напряженного состояния в точке

решение задач по сопромату
Рис. 168. Условие задачи

1) Обозначим напряжения, укажем их знаки и дополним недостающие напряжения.

2) Вычислим главные напряжения.

решение задач по сопромату

3) Вычислим угол поворота главных площадок.

решение задач по сопромату

4) Покажем положение главных площадок и главные напряжения.

решение задач по сопромату
Рис. 169. Действие главных напряжений и положение главных площадок

Направление напряжения решение задач по сопромату откладываем от направления большего напряжения решение задач по сопромату в сторону, куда показывает напряжение решение задач по сопромату на площадке с нормалью У.

Пример расчета заклепочного соединения

Задача №9:

решение задач по сопромату
  • Уголок №75×8; решение задач по сопромату
  • Размеры листа 95×20 мм; 6 = 95 мм; t = 20 мм.
  • Схема узла приведена на рисунке 170
решение задач по сопромату
Рис. 170. Заклепочное соединение уголков и листа

Решение:

Проверим на срез

Количество площадок среза в одной залепке решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Проверим на смятие

решение задач по сопромату

Проверим лист на растяжение

решение задач по сопромату

Проверим уголок на растяжение

решение задач по сопромату

Условие прочности выполняется.

Пример расчета сварного соединения

Задача №10:

Пусть неравнополочный уголокрешение задач по сопромату(рис. 171) соединен с листом по своей широкой полки электросваркой (угловым фланговым швом);решение задач по сопромату (электрод с тонкой обмазкой). К соединению приложена сила N=35 кН. Принять коэффициент решение задач по сопромату

Рассчитать длину швов.

решение задач по сопромату
Рис. 171. Соединение угловыми фланговыми швами уголка и листа

Решение:

Из условия прочности для углового флангового сварного шва на срез

решение задач по сопромату

определим расчетную длину шва

решение задач по сопромату

Распределим шов на обушок и на перо

решение задач по сопромату

Принимаем проектные длины швов

решение задач по сопромату

Пример расчета стержня круглого сечения на кручение

Задача №11:

Стержень кольцевого сечения подвергнут кручению двумя моментами решение задач по сопромату Наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения соответственно равны решение задач по сопроматумм, и решение задач по сопроматуМодуль сдвига и расчетное сопротивление материала стержня, соответственно, равны решение задач по сопромату

решение задач по сопромату
Рис. 172 Эпюры крутящих моментов и углов закручивания

Решение:

Полярный момент инерции сечения стержня

решение задач по сопромату

Угол закручивания участка 1-2

решение задач по сопромату

Угол закручивания участка 2-3

решение задач по сопромату

Углы поворота сечений стержня

решение задач по сопромату

Полярный момент сопротивления кольцевого сечения

решение задач по сопромату

Проверим по прочности

решение задач по сопромату

Условие прочности выполняется.

Пример расчета статически неопределимого ступенчатого стержня

Задача №12:

Стержень переменного сечения, загруженный осевыми сосредоточенными силами (рис.204). Расстояние между опорами больше чем общая длина стержня на 1 мм. Числовые данные приведены на рисунке 173. Стержень изготовлен из стали. Модуль упругости материала стержня равен Е=200 ГПа

решение задач по сопромату
Рис. 173. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки (б), деформация стержня от реакции нижней опоры (в)

Решение:

Определим степень статической неопределимости системы:

  • если предположить, что деформация стержня будет больше расстояния между опорами А и В, а это означает, что нижний конец стержня достигнет нижней опоры и появится реакция решение задач по сопромату, то количество неизвестны равно 2-м (реакции опор решение задач по сопроматуи решение задач по сопромату);
  • количество уравнений статического равновесия равно 1-му решение задач по сопромату;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

То есть система один раз (однажды) статически неопределимая. Обозначим особенные сечения стержня цифрами, начиная со стороны защемления А.

Составим уравнение статического равновесия

решение задач по сопромату

Составим уравнение совместности деформаций

решение задач по сопромату

Используя закон Гука, вычислим деформацию стержня от нагрузки, отбросив нижнюю опору и считая неподвижной верхнюю опору.

решение задач по сопромату

Следовательно, в результате деформации стержня от нагрузки зазор закрывается и на нижней опоре появляется дополнительная реакция.

Используя закон Гука, выразим деформацию стержня от неизвестной реакциирешение задач по сопромату. Выразим потому, что еще не знаем величину самой реакции решение задач по сопромату.

решение задач по сопромату

Подставим полученные выражения в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение

решение задач по сопромату

Объединим уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение в систему

решение задач по сопромату

Решим полученную систему уравнений. Учитывая, что система содержит неполное уравнение, из второго уравнения найдем значение реакции решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Из первого уравнения определим реакцию решение задач по сопромату

решение задач по сопромату

Используя метод сечений, вычислим значения продольных сил на участках стержня (рис. 174).

На участке 1-2

решение задач по сопромату

На участке 2-3

решение задач по сопромату
решение задач по сопромату
Рис.174. Рассмотренные части стержни при использовании метода сечений: а) на участке 1-2; б) на участке 2-3 2; в) на участке 3-4; г) на участке 4-5

На участке 3-4

решение задач по сопромату

На участке 4-5

решение задач по сопромату

Построим эпюру продольных сил (рис.175).

Вычислим значения напряжений в поперечных сечениях стержня

решение задач по сопромату

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.175). Пусть материал стержня деформируется по закону Гука. Вычислим относительные линейные деформации на участках стержня

решение задач по сопромату

Вычислим абсолютные линейные деформации участков стержня

решение задач по сопромату

Вычислим перемещения отмеченных сечений стержня и построим эпюру перемещения (рис.175)

решение задач по сопромату

Построим эпюру перемещений сечений стержня (рис. 175).

решение задач по сопромату
Рис. 175. Эпюры продольных сил (а), нормальных напряжений (б), перемещений )

Пример расчета статически неопределимого стержня на температурные воздействия

Задача №13:

Стальной стержень кольцевого сечения состоит из двух участков с разной площадью поперечных сечений, подвергнут температурному воздействию. Расстояние между опорами больше на 3 мм длины стержня. Температура стержня увеличилась на 90°. Требуется определить продольные силы, температурные напряжения и перемещения сечений стержня. Исходные данные приведены на рисунке (рис.176).

решение задач по сопромату
Рис. 176. Схема стержня (а), деформация стержня от нагрузки ), деформация стержня or реакции нижней опоры (в)

Решение:

Предположим, что в результате температурных деформаций стержень удлинница на величину большую, чем зазор между нижним концом стержня и нижней опорой. Тогда кроме реакции на верхней опоре появится реакция и на нижней опоре.

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (реакции решение задач по сопромату и решение задач по сопромату);
  • линейно независимых уравнений статического равновесия всего одно;
  • степень статической неопределимости равно n = 2-1 = 1.

Отсюда следует, что стержень один раз (однажды) статически неопределимый.

Составим уравнение статического равновесия

решение задач по сопромату

Отсюда следует, что реакции опор равны по величине, но направлены в разные стороны.

Составим уравнение совместности деформаций

сопромат задачи с решением

По закону температурных деформаций вычислим деформацию стержня от повышения температуры при условии отсутствия нижней опоры. Коэффициент линейного температурного расширения принимаем равным сопромат задачи с решением.

Отсюда следует, что в результате деформации стержня от температуры зазор закрывается и на нижней опоре действительно появляется реакция.

Используя закон Гука, выразим (выразим, потому что еще не знаем значение самой реакции сопромат задачи с решением) деформацию стержня от неизвестной реакциисопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Подставим выражения для сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением в уравнение совместности деформаций и получим дополнительное уравнение.

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение имеют одинаковые неизвестные, поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

сопромат задачи с решением

Из второго уравнения определим значение реакции сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Из первого уравнения (уравнения равновесия) определим реакцию верхней опоры

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 177. Рассмотренные части стержня при использовании метода сечений:
а) на участке А-С; б) на участке С-В

Определим продольные силы на участках стержня:

  • на участке А-С (рис.208, а)
сопромат задачи с решением
  • на участке С-В (рис.208, б)
сопромат задачи с решением

Вычислим температурные напряжения на участках стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации участков стержня. При этом следует учитывать деформацию от реакции сопромат задачи с решениеми деформацию от изменения температуры:

сопромат задачи с решением

Определим перемещения помеченных сечений стержня: WA — 0; (по условию закрепления)

сопромат задачи с решением

Построим эпюры продольных сил, напряжений и перемещений (рис.178).

сопромат задачи с решением
Рис. 178. Эпюры нормальных напряжений и перемещений в стержне при температурном воздействии на нею

Расчет статически неопределимого стержня круглого (кольцевого) сечения на кручение

Задача №14:

Стальной стержень переменной жесткости круглого поперечного сечения, защемленный обоими концами. Схема стержня приведена на рисунке (рис. 179)

сопромат задачи с решением
Рис. 179. Схема стержня (а), деформация стержня при кручении от заданною момента (б), деформация стержня от реактивного момента (в)

Приняты следующие исходные данные:

сопромат задачи с решением

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно двум (сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением);
  • уравнений статического равновесия только одно сопромат задачи с решением;
  • степень статической неопределимости n=2-1 = 1.

Следовательно, стержень один раз статически неопределимый. Составим уравнение статического равновесия

сопромат задачи с решением

Вычислим модуль сдвига материала стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим полярные моменты инерции поперечных сечений стержня на участках А-С и С-В

сопромат задачи с решением

Освободим правый конец балки от опоры и определим угол поворота правого сечения B, вызванного заданным крутящим моментов Т.

сопромат задачи с решением

Выразим угол закручивания правового торца стержня, вызванного неизвестным реактивным моментом сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Составим уравнение совместности деформаций — дополнительное уравнение

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия и дополнительное уравнение образуют систему уравнений

сопромат задачи с решением

Решим систему уравнений и найдем значения неизвестных реактивных моментовсопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением

Определим крутящие моменты на участках стержня

сопромат задачи с решением
Рис. 180. Равновесие части стержня, расположенной слева от сечении на участке А-С (а), равновесие части стержня, расположенной справа
от сечения.

Участок АС

сопромат задачи с решением

Участок СВ

сопромат задачи с решением

Вычислим полярные моменты сопротивления сечений стержня на его участках АС и СВ

сопромат задачи с решением

Определим максимальные касательные напряжения в сечениях стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации (углы закручивания) участков стержня

сопромат задачи с решением

Определим углы поворота сечений стержня

сопромат задачи с решением

Очевидно, что кинематические условия задачи выполняются. Построим эпюры крутящих моментов и углов закручивания сечений стержня (рис.181).

сопромат задачи с решением
Рис. 181. Эпюры крутящих моментов и углов закручивании сечений стержни

Расчет статически неопределимой плоской стержневой системы

Задача №15:

Плоская стержневая система, состоящая из двух деформируемых стальных стержней и одного абсолютно жесткого элемента (диска), прикрепленного к опоре неподвижным шарниром. Модуль упругости материала деформируемых стержней принят равным Е=200 ГПа. Стержневая система загружена равномерно распределенной нагрузкой q = 120 кН/м и сосредоточенной силой F = 240 кН. Площади поперечных сечений первого и второго стержней приняты соответственно равными сопромат задачи с решениеми сопромат задачи с решением. Размеры и положение элементов системы приведены на рисунке (рис.182).

Требуется найти продольные силы в деформируемых стержнях, вычислить их деформации и определить перемещения точек А и В.

Решение:

Вычислим длинны деформируемых стержней

сопромат задачи с решением

Вычислим радиусы окружностей, по которым движутся точки А и В

сопромат задачи с решением

Вычислим угол наклона первого стержня к горизонтальному направлению

сопромат задачи с решением

Составим уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 182. Схема плоской стержневой системы, ее размеры и
деформации

Вычислим углы наклона радиусов окружностей, по которым движутся точки А и В, к горизонтальному направлению

сопромат задачи с решением

Установим связь между перемещениями шарниров А и В

сопромат задачи с решением

Установим связь между перемещениями точек А, В и деформациями первого и второго деформируемых стержней системы.

сопромат задачи с решением

Принимаем, что материал первого и второго стержней деформируется по закону Гука.

сопромат задачи с решением

Объединим уравнения и получим дополнительное уравнение

сопромат задачи с решением

Уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением и полученное нами дополнительное уравнение образуют систему, решением которой являются продольные силы в первом и во втором стержнях

сопромат задачи с решением

В результате решения получим значения продольных сил

сопромат задачи с решением

Очевидно, что первый стержень растянут, а второй сжат. Определим реакции на опоре С. Для этого составим уравнения статического равновесия сопромат задачи с решением Из первого уравнения сопромат задачи с решением найдем реакциюсопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из второго уравнения

сопромат задачи с решением

найдем реакцию сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Вычислим напряжения в первом и во втором стержнях.

сопромат задачи с решением

Вычислим деформации первого и второго стержней системы

сопромат задачи с решением

Определим перемещения точек А и В

сопромат задачи с решением

Расчет статически неопределимой балки методом начальных параметров

Задача №16:

Статически неопределимая консольная балка (рис. 183), защемленная левым концом и шарнирно опирающаяся правым. Пролет балки равен 6 м, длина консоли 2 м. Балка загружена равномерно распределенной нагрузкой сопромат задачи с решениеми сосредоточенным моментом сопромат задачи с решением Приняты расчетное сопротивление материала балки на растяжение (сжатие) R = 210МПа, расчетное сопротивление на срез сопромат задачи с решением, допускаемый относительный прогиб сопромат задачи с решением

Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр и определить прогибы балки в точках С и D а также проверить условие жесткости.

Решение:

Количество неизвестных равно четырем — сопромат задачи с решением. Количество линейно независимых уравнений равновесия равно трем. Степень статической неопределимости равна n = 4 -3 = 1. То есть балка один раз (однажды) статически неопределимая.

Составим универсальное уравнение упругой оси балки.

сопромат задачи с решением

Отметим, что левый конец балки защемлен. Поэтому прогиб и угол поворота сечения расположенного на опоре А равны нулю по условию защемления, а значит, равны нулю. Равны нулю и начальные параметрысопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением.

сопромат задачи с решением
Рис.183. Статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и упругая ось балки

По условию закрепления балки прогиб балки в точке В равен нулю, так как эта точка располагается на шарнирно подвижной опоре. Используем это условие для составления дополнительного уравнения.

сопромат задачи с решением

Составим уравнение статического равновесия балки

сопромат задачи с решением

Оба полученные уравнения содержат одни и те же неизвестны — сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением. Поэтому они образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными

сопромат задачи с решением

Решим эту систему и получим значения реакций

сопромат задачи с решением

Чтобы получить значение реакции сопромат задачи с решением, используем еще одно уравнение статического равновесия сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Решим его и получим значение реакции опоры В, сопромат задачи с решением=62,83 кН. Используя метод сечений и правила построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.183).

Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблице прокатных профилей подберем двутавр с уклоном полок №30а. Выпишем его геометрические характеристики:

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по нормальным напряжениям

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

7780-10″8 • 6,5 -10 Найдем прогиб балки в точке С при z = а = 4 м (уча-сток I)

сопромат задачи с решением
3


Найдем прогиб балки в точке D при z = a+b+c = 4+2+2=8 м (участок III)

сопромат задачи с решением

Проверим по жесткости

сопромат задачи с решением

Условие жесткости выполняется.

Используя полученные значения прогибов балки в точках С и D, а также учитывая, что угол поворота сечения в точке А и прогибы балки на опорах А и В равны нулю, построим упругую ось балки (рис. 183). Отметим, что упругая ось балки должна быть согласована с эпюрой изгибающих моментов. Растянутые волокна балки на ее упругой оси должны быть с той стороны, в которую отложены ординаты на эпюре изгибающих моментов.

Определение деформаций статически определимой балки методом Максвелла-Мора (способ Верещагина)

Задача №17:

Статически определимая шарнирно опертая балка, загруженная сосредоточенным моментом М=24кНм, сосредоточенной силой F = 18kHh равномерно распределенной нагрузкой q = 12кН/м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, определить прогибы в точках С, D и H, проверить по условию жесткости, приняв, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210МПа, на сдвиг сопромат задачи с решением и модуль упругости стали Е = 200ГПа. Размеры балки приведены на рисунке (рис.184).

Решение:

Составим уравнения статического равновесия и вычислим реакции опор сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением, Учитываем, что горизонтальная реакция на шарнирно неподвижной опоре А равна нулю сопромат задачи с решением=0.

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 184. Схема статически определимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Используя метод сечений, вычислим значения поперечных сил и изгибающих моментов и по правилам построим их эпюры (рис.184). Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

и подберем прокатный двутавр № 18а. Выпишем его геометрические характеристики сопромат задачи с решением Проверим балку на прочность по нормальным напряжениям

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных в точках С, D и G, где следует найти прогибы балки (рис.184).

Перемножим эпюру сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением,и найдем прогиб балки в точке D. Для этого разложим эпюры на части треугольной и параболической форм (рис.185).

сопромат задачи с решением

Знак минус означает, что прогиб балки в точке D направлен против направления силы сопромат задачи с решением то есть вверх. Аналогично найдем прогиб балки в точках G и С

сопромат задачи с решением

Знак плюс означает, что направление прогиба балки в точке G совпадает с направлением единичной силы сопромат задачи с решением то есть вниз.

сопромат задачи с решением
Рис. 185. Эпюры изгибающих моментов, представленные в виде треугольников и квадратных парабол, эпюры от единичных сил
сопромат задачи с решением

Знак минус означает, что направление прогиба балки в точке С противоположно направлению единичной силы сопромат задачи с решением, то есть вверх.

По найденным значениям прогибов балки в точках D, G и С, а также учитывая эпюру изгибающих моментов, построим упругую ось балки (рис.184).

Расчет статически неопределимой балки методом сил (Максвелла-Мора)

Задача №18:

Двух пролетная статически неопределимая балка (рис. 186), опирающаяся на шарнирные опоры и загруженная равномерно распределенной нагрузкой q = 12 кН/м и сосредоточенной силой F = 48 кН. Размеры балки и схема нагружения показаны на рисунке (рис.186). Требуется раскрыть статическую неопределимость, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать прокатный двутавр, вычислить прогибы в точках К и D а также построить упругую ось, принимая модуль упругости Е = 200 МПа, расчетные сопротивления на растяжение (сжатие) R = 210 МПа, расчетное сопротивление на сдвиг сопромат задачи с решением.

Решение:

Определим степень статической неопределимости:

  • количество неизвестных равно четырем сопромат задачи с решением
  • количество линейно независимых уравнений статического равновесия равно трем сопромат задачи с решением
  • степень статической неопределимости равна n = 4-3 = 1.

Составим каноническое уравнение

сопромат задачи с решением

Вычислим коэффициент канонического уравнения

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.186. Схема статически неопределимая балка, эпюры поперечных сил, изгибающих моментов от нагрузки, единичные эпюры и упругая ось

Подставим значения коэффициента и свободного члена в каноническое уравнение

сопромат задачи с решением

Решим его и получим значение неизвестного

сопромат задачи с решением

Приложим к основной системе нагрузку и найденный опорный момент сопромат задачи с решением Построим эпюры поперечных сил сопромат задачи с решением и изгибающих моментов сопромат задачи с решением (рис.186).

Из условия прочности

сопромат задачи с решением

определим требуемый момент сопротивления

сопромат задачи с решением

По таблицам прокатных профилей подберем двутавр с уклонами полок сопромат задачи с решением Проверим по условию прочности

сопромат задачи с решением

Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по касательным напряжениям

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в точке D. Для этого перемножим единичную эпюру сопромат задачи с решениемна окончательную эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением и разделить на жесткость сопромат задачи с решением(рис.217).

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в точке К. Для этого перемножим единичную эпюру сопромат задачи с решением на окончательную эпюру изгибающих моментов сопромат задачи с решением и разделим на жесткость сопромат задачи с решением (рис.186).
Недогрузка составляет

сопромат задачи с решением

Проверим балку по жесткости

сопромат задачи с решением

Условие жесткости балки выполняется.

По найденным значениям прогибов и учитывая, что на опорах прогибы равны нулю, построим упругую ось балки (рис.186). Отметим, что упругая ось балки должна соответствовать эпюре изгибающих моментов.

Расчет балки на прочность и жесткость при плоском косом изгибе

Задача №19:

Двутавровая балка №24, защемленная одним концом и загруженная на свободном конце сосредоточенной силой F= 3,6 кН, направленной под углом сопромат задачи с решением = 12° к вертикальному направлению (рис.187). Длина балки l= 2м. Требуется построить эпюры изгибающих моментов в двух главных плоскостях, установить опасное сечение, найти положение нейтральной оси, проверить по условию прочности, найти прогиб и его направление на свободном конце балки.

Решение:

Выпишем геомертические характеристики сечения двутавра №24:

  • высота сечения h = 240 мм;
  • ширина полки сечения b=115 мм;
  • момент инерции сечения относительно оси перпендикулярной стенке двутавра сопромат задачи с решением;
  • момент инерции сечения относительно оси параллельной стенке двутавра сопромат задачи с решением.

Определим проекции силы F на главные оси инерции сечения двутавра

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.187. Схема двутавровой консоли и совмещенная эпюра изгибающих моментов в двух главных плоскостях

Вычислим изгибающие моменты от составляющих силы сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением в сечении, расположенном у защемления балки

сопромат задачи с решением

Построим эпюры изгибающих моментов, выберем опасное сечение у защемления и направим главные центральные оси в сторону растянутых волокон балки.

Так как отношение изгибающих моментов во всех поперечных сечениях балки одинаковое, то это значит, что плоскость суммарного изгибающего момента так же занимает одинаковое положение во всех сечениях. То есть, имеет место плоский косой изгиб.

сопромат задачи с решением

Определим положение нейтральной оси. Для этого найдем угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси инерции X.

сопромат задачи с решением

Угол сопромат задачи с решением откладываем от оси X так, чтобы нейтральная ось проходила через отрицательные квадранты координатной плоскости (рис.188).Определим координаты опасной точки t в растянутой части сечения

сопромат задачи с решением

Определим координаты опасной точки s в сжатой части сечения

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.188. Эпюры нормальных напряжений в сечении балки, испытывающей
плоский косой изгиб

Определим напряжения в опасных точках поперечного сечения балки при косом изгибе.

сопромат задачи с решением

Вычислим прогиб балки в горизонтальном и вертикальном

направлениях, используя ранее полученную формулу сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим полный прогиб на свободном конце балки

сопромат задачи с решением

Найдем направление полного прогиба

сопромат задачи с решением

Положение нейтральной оси показано на рисунке 188.

Расчет балки на прочность и жесткость при пространственном косом изгибе

Задача №20:

Деревянная балка прямоугольного сечения, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.189). Балка загружена вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q = 24 кН/м и горизонтальной сосредоточенной силой F = 6 кН, приложенной в ее середине. Размеры сечения балки bxh = 18х56см, ее длина (пролет) l = 6 м. Модуль упругости материала балки Е = 10 ГПа.

Требуется построить эпюры изгибающих моментов, построить нейтральную ось, найти максимальные нормальные напряжения, найти прогиб и его направление в середине пролета балки.

Решение:

Определим главные центральные моменты поперечного сечения балки. При этом учитываем, что сечение имеет оси симметрии, поэтому положение главных осей инерции заранее известно — это оси симметрии.

сопромат задачи с решением

Рассмотрим балку только в вертикальной плоскости ZY (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

сопромат задачи с решением

Рассмотрим балку только в горизонтальной плоскости ZX (рис.189). Вычислим вертикальные реакции опор балки.

сопромат задачи с решением

Пользуясь методом сечений и правилами, построим эпюр изгибающих моментов сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением построим эпюру изгибающих моментов в плоскости ZX и ZY (рис. 189). В точке С расчетные моменты равны сопромат задачи с решением кНм.

Определим угол наклона нейтральной оси к координатной оси X.

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 189. Схема балки, испытывающей пространственный косой изгиб и эпюры и изгибающих моментов в плоскости сопромат задачи с решением и сопромат задачи с решением

Определим опасные точки в растянутой и в сжатой частях сечения С. Их координаты

сопромат задачи с решением

Вычислим нормальные напряжения в опасных точках сечения С.

сопромат задачи с решением

Прогиб балки в точке С по горизонтальному направлению вычислим по формуле

сопромат задачи с решением

Прогиб балки в точке С по вертикальному направлению вычислим по формуле

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис. 190. Поперечное сечение балки в точке С, эпюры нормальных напряжений и направления прогибов (вид справа)

Определим направление полного прогиба балки в точке С

сопромат задачи с решением

Полный прогиб балки с точке С.

сопромат задачи с решением

Построим эпюры напряжений и покажем прогибы (рис. 190).

Расчет стержня на внецентренное растяжение (сжатие)

Задача №21:

Дано сечение внецентренно сжатого стержня (рис.191). Равнодействующая сжимающей силы равна F=108 кН. Требуется найти положение центра тяжести сечения, положение нулевой линии, определить опасные точки и напряжения в них, построить эпюру нормальных напряжений и ядро сечения.

сопромат задачи с решением
Рис. 191. Сечение внецентренно сжатого стержня, эпюра напряжений и ядро сечения

Решение:

Разделим сечение на части, имеющие простые геометрические формы прямоугольник верхний, прямоугольник нижний и круг. Выберем вспомогательные оси координат — ось X по нижнему краю сечения, а ось Y — по оси симметрии. Отметим положения центров тяжестей отдельных частей сечения и определим их координаты, вычислим площади и осевые моменты инерции относительно их собственных центральных осей, параллельных выбранным вспомогательным осям (рис.191).

Для первой части сечения — верхний прямоугольник

сопромат задачи с решением

Для второй части сечения — нижний прямоугольник

сопромат задачи с решением

Для третьей части сечения

сопромат задачи с решением

Координаты точки приложения равнодействующей силы в базовых осях

сопромат задачи с решением

Площадь всего сечения

сопромат задачи с решением

Статический момент всего сечения относительно вспомогательной оси X

сопромат задачи с решением

Вычислим координату центра тяжести всего сечения

сопромат задачи с решением

Покажем центр тяжести всего сечения и проведем центральные оси, параллельно соответствующим базовым осям (рис.191).

Вычислим координаты центров тяжестей частей сечения относительно центральных осей Хс и Yc.

сопромат задачи с решением

Найдем координаты точки приложения силы в центральных осях Хс и Yc

сопромат задачи с решением

Проверим координаты центра тяжести всего сечения, используя утверждение, что статический момент относительно любой центральной оси должен быть равным нулю. Вычислим статические моменты всего сечения относительно центральных осей Хс и Yc .

сопромат задачи с решением

Погрешность координаты центра тяжести не превышает

сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решениемтак как ось Yc является осью симметрии сечения.

Вычислим главные центральные моменты инерции всего сечения.

сопромат задачи с решением

Вычислим квадраты радиусов инерции сечения

сопромат задачи с решением

Найдем отсеченные отрезки нулевой линии

сопромат задачи с решением

Построим нулевую линию на сечении стержня и определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в базовых осях координат. Обозначим опасную точку в сжатой части сечения буквой s, а в сжатой —t.

сопромат задачи с решением

Определим координаты опасных точек в растянутой и в сжатой частях сечения в центральных осях координат Хс и Yc.

сопромат задачи с решением

Найдем напряжения в опасных точках сечения колонны

сопромат задачи с решением

Построим эпюру нормальных напряжений (рис.191).

Построим ядро сечения. Для этого найдем отсеченные отрезки касательных к сечению колонны и соответствубщие им точки приложения силы.

1-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

2-я касательная (нулевая линия).

Из рисунка видно, что вторая касательная проходит через две точки сечения с координатами

сопромат задачи с решением

Отсеченные отрезки этой (второй) касательной определим из выражений

сопромат задачи с решением

3-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

4-я касательная (нулевая линия)

сопромат задачи с решением

Отметим точки, координаты которых найдены, и соединим их согласно свойствам ядра сечения и нулевой линии (рис.191).

Кстати готовые на продажу задачи тут, и там же теория из учебников может быть вам поможет она.

Расчет стержня круглого сечения, испытывающего кручение с изгибом

Задача №22:

Вал круглого поперечного сечения (рис.192) закреплен на опорах с подшипниками и загружен двумя вертикальными силами сопромат задачи с решением=120 кН, одной горизонтальной силой сопромат задачи с решением=40 кН передает крутящий момент сопромат задачи с решением=30 кНм. Материал вала — сталь с расчетным сопротивлением R=180 МПа. Размеры вала приведены на рисунке (рис.193). Требуется проверить прочность вала по третьей и по четвертой теориям прочности.

Решение:

Построим эпюры изгибающих и крутящегл моментов (рис.193).

Вычислим осевой момент сопротивления поперечного сечения стержня

сопромат задачи с решением

Из эпюр (рис. 192) назначим расчетные моменты сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
Рис. 192. Схема вала, эпюры изгибающих и крутящих моментов при
изгибе с кручением

Вычислим суммарный изгибающий момент

сопромат задачи с решением

Определим приведенный момент по третьей теории прочности

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по третьей теории прочности

сопромат задачи с решением

Определим приведенный момент по четвертой теории прочности

сопромат задачи с решением

Проверим на прочность по четвертой теории прочности

сопромат задачи с решением

Прочность выполняется по обеим теориям.

Построение эпюр внутренних сил в пространственном стержне

Задача №23:

Элемент, входящий в пространственную конструкцию. Поперечные сечения на всех трех участках стержня имеет форму круга диаметров D. Участки элемента ортогональны. Длина всех участков одинаковая и равная а = 2 м. Форма элемента показаны на рисунке (рис.193). Требуется построить эпюры внутренних сил на участках пространственного элемента, установить виды сопротивления и привести расчетные формулы для напряжений.

Решение:

Будем отмечать расположение растянутых волокон словами — верхние или нижние, левые или правые, дальние или ближние. Знаки на эпюре изгибающих моментов не ставятся, а направление действия изгибающих моментов определяем положением волокон, которые они растягивают.

Знак продольной силы определяется тем, какое действие она совершает — растягивает или сжимает. Если продольная сила растягивает материал, то она принимается положительной, если сжатие, то она принимается отрицательной.

Знак поперечной силы принимается по правилу буравчика — если направление сдвига соответствует буравчику, вкручивающемуся в соответствующую поперечную ось, то поперечная сила, вызывающая этот сдвиг, принимается положительной. Если буравчик выкручивается из соответствующей оси координат, то поперечная сила считается отрицательной.

Знак на эпюре крутящих моментов не выставляется.

Определение внутренних сил выполняется по методу сечения. При этом продольную силу и поперечные силы предварительно направляем так, чтобы они были положительными.

Используя уравнения статического равновесия найдем внутренние силы в отмеченных сечениях стержня.

На участке 1-2 в сечении 1 (рис.224, а, б)

сопромат задачи с решением

На участке 1-2 в сечении 2 (рис.224, в, г)

сопромат задачи с решением

На участке 2-3 в сечении 2 (рис.224, д,е)

сопромат задачи с решением

На участке 2-3 в сечении 3 (рис.225 ж, з)

сопромат задачи с решением

На участке 3-4 в сечении 3 (рис.194 и, к)

сопромат задачи с решением

Ha участке 3-4 в сечении 4 (рис. 194 л, м)

сопромат задачи с решением
сопромат задачи с решением
Рис.193. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: а) и б) в точке 1 на участке 1-2; в) и г) в точке 2 на участке 1-2; д) и е) в точке
2 на участке 2-3
сопромат задачи с решением
Рис. 194. Определение внутренних сил в сечениях пространственною стержня: ж) и з) в точке 3 на участке 2-3; и) и к) в точке 3 на участке 3-4; л) и
м) в точке 4 на участке 3-4
сопромат задачи с решением
Рис. 195. Эпюры внутренних сил в пространственном элементе

По найденным значениям и используя правила, построим эпюры внутренних сил в пространственном элементе (рис. 195).

Подбор сечения сжатого стержня с учетом продольного изгиба

Задача №24:

Стержень длинной l = 4 м защемлен обеими концами сопромат задачи с решениемсжат силой F = 240 кН. Подберем двутавровое сечение. Расчетное сопротивление и модуль упругости материала двутавра приняты равными R=210МПа и Е=200ГПа

сопромат задачи с решением
Рис.196. Схема сжатою двутаврового стержня

Решение:

В первом приближении принимаем коэффициент продольного изгиба равным сопромат задачи с решением. Из условия прочности при продольном изгибе

сопромат задачи с решением

определим требуемую площадь сечения стержня

сопромат задачи с решением

По требуемой площади поперечного сечения стержня подберем из таблицы прокатов двутавр №18 и выпишем его площадь и радиус инерции сопромат задачи с решением

Определим гибкость стержня

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя линейную интерполяцию

сопромат задачи с решением

Проверим сжатый стержень по условию прочности при продольном изгибе

сопромат задачи с решением

Условие прочности выполняется. Определим критическое напряжение по формуле Эйлера, так как сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Вычислим критическую силу

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент запаса устойчивости

сопромат задачи с решением

Определение несущей способности сжатого стержня кольцевого поперечного сечения с учетом продольного изгиба

Задача №25:

Стержень кольцевого сечения, шарнирно закрепленный верхним концом и защемленный нижним концом, сжат силой F = 240 кН. Все числовые данные приведены на рисунке (рис. 197).

сопромат задачи с решением
Рис. 197. Схема сжатою стержни кольцевого сечения

Решение:

Вычислим площадь сечения

сопромат задачи с решением

Вычислим момент инерции сечения стержня

сопромат задачи с решением

Определим радиус инерции сечения

сопромат задачи с решением

Найдем гибкость стержня

сопромат задачи с решением

Вычислим предельную гибкость для материала стержня (стали)

сопромат задачи с решением

Определим критическую силу. Так как сопромат задачи с решением воспользуемся формулой Эйлера.

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент продольного изгиба, используя таблицу сопромат задачи с решением и линейную интерполяциюсопромат задачи с решением

По интерполяции получим

сопромат задачи с решением

Проверим по условию прочности

сопромат задачи с решением

Условие прочности выполняется.

Найдем несущую способность сжатой стойки — допускаемую сжимающую силу из условия прочности.

сопромат задачи с решением

Определим коэффициент запаса устойчивости.

сопромат задачи с решением

Определение несущей способности сжатого стержня, составленного из двух уголков, с учетом продольного изгиба

Задача №26:

Сжатый стержень защемлен нижним концом и свободен на верхнем конце. Стержень состоит их двух равнополочных прокатных уголков L№ 120×8, образующих крестообразное сечение. Из таблицы прокатных профилей выпишем площадь сечения одного уголка сопромат задачи с решениемсопромат задачи с решением радиус инерции сопромат задачи с решениемРасчетное сопротивление и модуль упругости равны R = 210 МПа и Е=200 ГПа. По условию закрепления коэффициент приведения длины равен сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением
Рис. 198. Схема сжатою стержня, состоящею из двух равнополочных уголков

Решение:

Вычислим гибкость стержня из плоскости, содержащей ось V (рис. 198).

сопромат задачи с решением

Используя таблицу коэффициентов продольного изгиба и линейную интерполяцию, вычислим коэффициент продольного изгиба при гибкости сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Из условия прочности найдем допускаемую сжимающую силу

сопромат задачи с решением

Вычислим критическое напряжение, используя формулу Ясинского, так как сопромат задачи с решением

сопромат задачи с решением

Определим критическую сжимающую силу

сопромат задачи с решением

Найдем коэффициент запаса устойчивости

сопромат задачи с решением

Расчет балки на поперечный удар

Задача №27:

Балка пролетом 3 м, опирающаяся своими концами на шарнирные опоры (рис.199). На балку падает тело массой m=2000 кг с выcоты 11 см. Балка изготовлена из двутавра №20а с моментом инерции

сопромат задачи с решениеми моментом сопротивления сопромат задачи с решением Модуль упругости материала двутавра принят равным Е = 200 ГПа. Требуется найти динамический коэффициент, динамическое напряжение и динамический прогиб балки. Собственная масса не учитывается.

сопромат задачи с решением
Рис.199. Схема поперечною удара но двутавровой балке

Решение:

Вес падающего тела на поверхности Земли равен

сопромат задачи с решением

Определим прогиб балки от статически приложенной нагрузки, то есть веса падающего тела.

сопромат задачи с решением

Вычислим динамический коэффициент

сопромат задачи с решением

Найдем максимальный изгибающий момент от статически приложенной нагрузки.

сопромат задачи с решением

Определим максимальное нормальное напряжение от статически приложенной нагрузки, то есть от веса падающего тела.

сопромат задачи с решением

Вычислим максимальное нормальное напряжение при ударе падающего тела.

сопромат задачи с решением

Определим прогиб балки от динамического приложения нагрузки (ударе)

сопромат задачи с решением

Дополнительный материал по сопротивлению материалов

Назначение дисциплины

«Сопротивление материалов» рассматривает расчет отдельных элементов конструкций.

Элементы конструкций рассчитываются на прочность, жесткость и устойчивость.

Прочность — способность элемента конструкции воспринимать нагрузку не разрушаясь.

Жесткость — способность элемента конструкции оказывать сопротивление деформации, допуская ее в определенных пределах.

Устойчивость — способность элемента конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия.

Гипотезы и допущения:

В теории дисциплины при выводе расчетных формул применяется ряд гипотез и допущений.

Основные из них:

  • материал принимается сплошным, однородным и изотропным (свойства в любой точке и направлении считаются одинаковыми);
  • материал до определенной степени нагружения деформируется линейно;
  • деформации элемента конструкции весьма малы по сравнению с размерами самого элемента;
  • до приложения внешних сил в материале отсутствуют напряжения.

Геометрическая схематизация элементов строительных конструкций. Расчетная схема

Расчет строительной конструкции начинается с геометрической схематизации ее элементов. Все формы элементов строительных конструкций с достаточной степенью точности можно отнести к четырем основным формам: брус, пластина, массив и оболочка.

Расчет пластин, массивов и оболочек осуществляется с использованием теории упругости, а расчет бруса — с использованием сопротивления материалов.

После схематизации геометрических форм производят выбор расчетной схемы. Расчетная схема представляет собой упрощенную схему элемента, которая отражает наиболее существенные его особенности под действием нагрузки. При составлении расчетной схемы брус не вычерчивают полностью, а только его продольную ось, поскольку она является геометрическим местом центров тяжести поперечных сечений. Все действующие на элемент внешние силы приводятся к этой оси по правилу механики.

На расчетной схеме намечается система трех взаимно перпендикулярных осей координат: Z— вдоль продольной оси, X, Y — поперек продольной оси (рис. 1, а, б). Начало координатных осей обычно располагается в крайней левой точке расчетной схемы.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Каждый элемент конструкции соединяется с другим элементом или основанием при помощи опорных устройств. Опоры подразделяются на шарнирно-подвижные, шарнирно-неподвижные, защемления (заделки), см. рис. 1, а, б.

В зависимости от конструктивного назначения брус могут называть стержнем, балкой, колонной или валом.

  • Стержень — это брус, работающий на растяжение (сжатие).
  • Балка — брус, работающий на изгиб.
  • Колонна — вертикально стоящий брус, предназначенный для восприятия сжимающей нагрузки.
  • Вал — брус, работающий на кручение.

Внешние силы

Элементы конструкций испытывают воздействие внешних сил, которые делятся на активные (нагрузки) и реактивные (реакции опор). Среди нагрузок различают сосредоточенные F, М, Т (считаются приложенными в точке элемента или конкретном сечении) и распределенные q (по длине или площади элемента), см. рис. 1, а, б. Опорные реакции плоской системы определяются из трех условий равновесия (статики): примеры решения задач по сопротивлению материалов см- Рис- 1, а, б.

Внутренние силы

В результате действия внешних сил в элементе конструкции возникают внутренние силы (усилия), которые сопротивляются действию внешних сил и обусловлены упругим взаимодействием частиц материала.

Внутренние силы (рис. 1, в) привязываются к системе координатных осей стержня и подразделяются:

  • на продольные силы N, действующие по продольной оси Z;
  • поперечные силы примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов, действующие в плоскости поперечного сечения и направленные по координатным осям X и Y;
  • изгибающие моменты примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов, действующие относительно координатных осей X и У;
  • крутящие моменты Т действующие относительно продольной оси Z.

Для определения внутренних сил используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна часть стержня отбрасывается, а действие отброшенной части на оставленную (рассматриваемую) заменяется неизвестными внутренними силами. Для оставшейся части составляются уравнения равновесия, из которых и определяются неизвестные внутренние силы.

Напряжения

Различают нормальные а и касательные примеры решения задач по сопротивлению материалов напряжения. Нормальные напряжения действуют перпендикулярно поперечному сечению и являются функцией

примеры решения задач по сопротивлению материалов

а касательные — в плоскости поперечного сечения и являются функцией

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Виды напряженного состояния материала

В общем случае действия внешних сил на тело (элемент конструкции) по граням элементарно малого прямоугольного параллелепипеда, выделенного в любой точке, действует совокупность нормальных примеры решения задач по сопротивлению материалов и касательных примеры решения задач по сопротивлению материалов напряжений, определяющих напряженное состояние в этой точке (рис. 2, а). На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Нормальным напряжениям присваивают индекс, указывающий ось, параллельно которой они направлены. Для обозначения касательных напряжений используется двойной индекс. Первый указывает ось, параллельно которой направлено касательное напряжение, второй — ось, параллельно которой направлена нормаль к площадке, где действует касательное напряжение.

С поворотом параллелепипеда вокруг точки значение напряжений будет изменяться, и можно найти такое его положение, при котором касательные напряжения по его граням исчезнут, а нормальные сохранятся (рис. 2, б). Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными, а действующие на них нормальные напряжения — главными нормальными напряжениями. Они обозначаются примеры решения задач по сопротивлению материалов, причем примеры решения задач по сопротивлению материалов.

По совокупности главных напряжений различают три вида напряженного состояния материала:

  • объемное, когда все три главных напряжения отличны от нуля (см. рис. 2, б);
  • плоское, когда два главных напряжения отличны от нуля (рис. 2, в);
  • линейное, когда отлично от нуля лишь одно главное напряжение (рис. 2, г).

Деформации и перемещения

Под воздействием внешних нагрузок элементы конструкции деформируются, т. е. изменяют свои размеры и форму. Деформации могут быть упругими и пластическими. Упругие деформации исчезают после снятия нагрузки, а пластические сохраняются.

В зависимости от условий загружения внешними силами брус может испытывать такие виды деформаций, как растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и изгиб. Эти четыре вида деформаций относят к простым. На практике брус часто подвергается одновременно нескольким простым деформациям, например, изгиб с растяжением, изгиб с кручением и растяжением и т. д. Такую деформацию называют сложной.

В случае когда длина бруса намного больше его поперечных размеров (например, чертежная линейка), сжимающие силы могут изогнуть его. Произойдет особый вид деформации — продольный изгиб.

При деформациях точки элемента конструкции перемещаются в пространстве. Различают линейные перемещения примеры решения задач по сопротивлению материалов — для точек и угловые примеры решения задач по сопротивлению материалов — для линий (рис. 3, а).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

В конкретных видах деформаций перемещения приобретают определенные обозначения и названия. При растяжении-сжатии примеры решения задач по сопротивлению материалов -продольная деформация (рис. 3, б); при кручении примеры решения задач по сопротивлению материалов— угол закручивания (рис. 3, в); при изгибе примеры решения задач по сопротивлению материалов — прогиб, а примеры решения задач по сопротивлению материалов угол поворота сечения (рис. 3, г).

Методы расчета на прочность и жесткость

В расчетной практике используется несколько методов расчета на прочность. Наиболее распространены два из них.

Расчет деталей машин и механизмов ведется по методу допускаемых напряжений, а расчет элементов строительных конструкций -по методу предельных состояний.

По методу допускаемых напряжений условие прочности при линейном напряженном состоянии имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — максимальные напряжения в элементе конструкции;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов)- допускаемые напряжения для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от нормативной нагрузки, т. е. нагрузки, установленной нормами проектирования.

Допускаемые напряжения устанавливаются по результатам испытания материала с учетом общего коэффициента запаса прочности.

По методу предельных состояний условие прочности имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетные сопротивления для материала элемента.

Максимальные напряжения определяются от расчетной нагрузки, учитывающей возможность ее отклонения от нормативной.

Расчетные сопротивления также устанавливаются по результатам испытания материала, но с использованием ряда частных коэффициентов, каждый из которых учитывает какой-либо один фактор, влияющий на его прочность.

Расчет по методу предельных состояний позволяет спроектировать элемент конструкций более рационально, т. е. с меньшими затратами материала.

Из условия прочности можно решить три типа задач:

  1. Проверить прочность стержня, когда известны нагрузка, форма и размеры поперечного сечения и род материала.
  2. Определить размеры поперечного сечения стержня, если известны нагрузка, форма поперечного сечения и род материала.
  3. Определить наибольшую допустимую нагрузку на стержень, если известны форма и размеры поперечного сечения и род материала.

Для случаев сложной деформации, т. е. сложного напряженного состояния (плоского и объемного), задача составления условия прочности решается с помощью теорий прочности, каждая из которых основана на определенной гипотезе, объясняющей причину разрушения материала.

При оценке прочности материала при сложном напряженном состоянии вводится понятие расчетного напряжения примеры решения задач по сопротивлению материалов, которое определяется по принятой теории прочности и сравнивается с тем же расчетным сопротивлением материала R, полученным испытанием материала на растяжение-сжатие:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

В частном случае плоского напряженного состояния — чистом сдвиге, когда в поперечном сечении стержня возникают только касательные напряжения, условие прочности используется в виде

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление материала сдвигу.

Расчет на жесткость элементов конструкции сводится к определению максимальных перемещений (линейных или угловых) примеры решения задач по сопротивлению материалов под действием нормативной нагрузки и сравнении ее с допустимым значением примеры решения задач по сопротивлению материалов, установленным нормами проектирования.

Условие жесткости имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Необходимо отметить, что в дисциплине «Сопротивление материалов» рассматриваются принципы расчета на прочность и жесткость, а не конкретные конструкции, поэтому в настоящем издании для упрощения все нагрузки указываются в расчетных значениях, а расчеты выполняются по методу предельных состояний. Исключение составляют расчеты на изгиб с кручением, которые выполнены по методу допускаемых напряжений.

Растяжение и сжатие

Элемент конструкции подвергается деформации растяжения или сжатия, когда равнодействующая внешних сил действует на него по центральной оси Z (рис. 1.1, а). Такое растяжение-сжатие называется центральным (осевым).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Действующая на элемент конструкции система сил должна находиться в равновесии: примеры решения задач по сопротивлению материалов.

При растяжении длина стержня (участка) в продольном направлении увеличивается (деформация обозначается знаком «плюс»), а при сжатии — уменьшается (знак «минус»).

Внутренние силы

При центральном растяжении-сжатии в поперечном сечении стержня возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила N. Для ее определения на стержне, исходя из вида нагрузки и ее расположения, выделяются расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных сил F и в пределах распределенной нагрузки q.

В пределах каждого участка намечаются сечения (I, II, …, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей примеры решения задач по сопротивлению материалов

Для определения продольной силы N используется метод сечений. Стержень в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части. Одна из частей его «отбрасывается». Поскольку весь стержень находится в равновесии, то и его рассматриваемая часть под действием известных внешних сил (F, q) и неизвестной внутренней N также должна находиться в равновесии, т. е. удовлетворять условию примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Составить выражения для определения продольной силы N можно двумя способами.

Первый способ. На схеме для каждого участка показывается отсеченная часть стержня и составляется уравнение равновесия этой части с использованием правила знаков для сил, принятое в курсе теоретической механики.

Так, для сечения III (рис. 1.1,б) уравнение равновесия имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов

откуда

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Второй способ. На рисунке для всех участков отсеченная часть стержня не показывается.

Выражения для определения продольной силы составляются по следующему правилу: продольная сила N в сечении стержня численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

При определении N можно рассматривать любую часть «рассеченного» стержня.

Правило знаков для сил связано с учетом характера вызываемой ими деформации стержня (растяжение или сжатие).

Если внешняя сила (F, q) направлена от рассматриваемого сечения стержня (стремится растянуть его рассматриваемую часть), то в этом сечении возникает положительная продольная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов,

и если направлена к сечению (стремится сжать), то в сечении возникает отрицательная продольная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 1.2

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Полученный в результате вычислений знак при N укажет на характер деформации участка стержня от суммарного действия сил: «плюс» означает, что участок стержня растянут, «минус» — что участок сжат. Так, для сечения III (см. рис. 1.2, б) выражение для продольной силы будет

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Второй прием составления выражений для N сокращает объем вычислений и является общим для всех видов сопротивлений.

По вычисленным на участках стержня значениям N строится эпюра продольных сил (см. примеры).

Напряжения. Условие прочности

При деформации растяжения или сжатия в сечениях стержня возникают нормальные напряженияпримеры решения задач по сопротивлению материалов.

Продольная сила N связана с нормальным напряжением примеры решения задач по сопротивлению материалов зависимостью

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где N — продольная сила в сечении стержня;
  • А — площадь поперечного сечения стержня.

При вычислении нормальных напряжений по длине стержня также выделяются расчетные участки. К указанным выше границам этих участков добавляются точки, где изменяются размеры поперечных сечений (см. рис. 1.1, а). По вычисленным значениям строится эпюра (см. примеры).

Нормальное напряжение о распределяется по поперечному сечению равномерно. График, показывающий изменение напряжения по высоте сечения стержня, называется эпюрой напряжений (эп. примеры решения задач по сопротивлению материалов), рис. 1.1, в.

При растяжении-сжатии стержня его материал в любой точке находится в условии линейного напряженного состояния, поэтому проверка прочности ведется по максимальному нормальному напряжению примеры решения задач по сопротивлению материалов и условие прочности имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов— продольная сила на наиболее нагруженном участке стержня;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня растяжению-сжатию.

Для пластичных материалов (сталь) расчетные сопротивления при растяжении и сжатии одинаковы, для хрупких (чугун, бетон) -разные.

Деформации. Условие жесткости

Возникновение продольной силы N в сечении стержня сопровождается его продольной деформацией : удлинением при растяжении и укорочением при сжатии.

Абсолютная продольная деформация примеры решения задач по сопротивлению материалов от сосредоточенных сил F определяется по формуле Гука

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где N — продольная сила в стержне (на участке);
  • l — длина стержня (участка);
  • Е — модуль продольной упругости (модуль Юнга) материала стержня;
  • А — площадь поперечного сечения стержня (участка).

Абсолютная продольная деформация примеры решения задач по сопротивлению материалов от равномерно распределенной нагрузки q (действующей на данном участке стержня) определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов


Абсолютная продольная деформация примеры решения задач по сопротивлению материаловот собственного веса стержня определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов — вес единицы объема материала стержня.

Вычислив деформации на участках стержня, можно найти перемещения его характерных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Относительная продольная деформация примеры решения задач по сопротивлению материалов стержня (или его участка) определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов— абсолютная продольная деформация стержня (участка); l — длина стержня (участка).

Условие жесткости при растяжении-сжатии имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов — предельно допустимая относительная продольная деформация.

Закон Гука при растяжении-сжатии (из формулы (1.3)), выражающий зависимость между напряжением и деформацией, имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Модуль продольной упругости Е характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжения-сжатия в зависимости от его свойств.

Статически определимые системы

Статически определимыми являются системы, усилия в элементах которых можно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Для плоской системы сил их три:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Пример задачи №1.1

Пример задачи 1.1 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения нагружена системой расчетных сил F (рис. 1.3, а).

Статически неопределимые системы

Статически неопределимыми являются системы, внутренние силы в элементах которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия (статики).

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных (внутренних сил и реакций опор) и числом возможных уравнений равновесия.

Для раскрытия статической неопределимости, т. е. определения внутренних сил в элементах системы, к уравнениям равновесия нужно составить столько дополнительных уравнений, сколько раз система статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости. Наиболее простой — метод сравнения деформаций, построенный на принципе совместности перемещений.

Принцип совместности перемещений означает, что элементы системы в результате действия нагрузки должны перемещаться совместно, без разрушений, разъединений, смещений друг относительно друга.

Чтобы составить уравнение совместности перемещений, необходимо представить систему в деформированном состоянии и установить геометрическую зависимость между деформациями ее стержней.

Совместное решение уравнений равновесия с уравнениями перемещений позволяет раскрыть статическую неопределимость.

Следует заметить, что в статически определимых системах искомые внутренние силы в стержнях предварительно направлялись произвольно. В статически неопределимых многостержневых системах искомые внутренние силы в стержнях нужно направлять в соответствии с предполагаемой деформацией стержня. Так, если стержень удлиняется — неизвестная внутренняя сила в нем направляется от сечения, если укорачивается — к сечению.

Пример задачи №1.5

Пример задачи 1.5 Абсолютно жесткий элемент Р, нагруженный расчетной нагрузкой F = 136 кН, подвешен на трех стальных стержнях одинаковой длины и площади поперечного сечения (рис. 1.7).

Сдвиг

Деформация сдвига наблюдается в тех случаях, когда внешние силы, действующие на стержень, пытаются сдвинуть одну его часть по отношению к другой (рис. 2.1).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Это происходит, когда на стержень перпендикулярно продольной оси Z на очень близком расстоянии а друг от друга действуют две равные сосредоточенные силы F, направленные в противоположные стороны.

Деформации сдвига (среза) подвергаются в основном соединительные элементы конструкций: заклепки, болты, швы электросварки, врубки, шпонки.

При сдвиге в поперечном сечении стержня возникают поперечная сила Q и изгибающий момент М. В большинстве случаев определяющее значение имеет поперечная сила, а изгибающим моментом пренебрегают, т. е. сдвиг считают чистым. Поперечная сила Q определяется методом сечений.

Поперечная сила приводит к образованию касательных напряжений примеры решения задач по сопротивлению материалов, которые, как принято считать, по площади сдвига (среза) распределяются равномерно и определяются по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где Q — поперечная сила в сечении сдвига;
  • А — площадь поперечного сечения в зоне сдвига.

В зоне чистого сдвига материал элемента находится в условии плоского напряженного состояния. Но поскольку в зоне сдвига возникают только касательные напряжения, условие прочности записывается в виде

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов— расчетное сопротивление материала сдвигу.

В зоне сдвига наблюдаются следующие деформации: примеры решения задач по сопротивлению материалов — абсолютный сдвиг и примеры решения задач по сопротивлению материалов относительный сдвиг (см. рис. 2.1). Закон Гука при сдвиге выражается формулой

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где G — модуль упругости материала при сдвиге (модуль упругости второго рода).

Расчет заклепочных соединений

В реальных условиях соединений заклепки рассчитываются на срез по касательным напряжениям, а контактирующие элементы (заклепки, соединяемые части) — еще и на смятие по нормальным напряжениям (рис. 2.2).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Принято считать, что при статической нагрузке заклепки вдоль линии действия внешних сил нагружены одинаково.

Различают заклепочные соединения одно- и многосрезные (см. примеры).

Условие прочности на срез имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов


где Q — поперечная (срезывающая) сила в заклепочном соединении: Q =f (F);

  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — суммарная площадь срезаемых заклепок;
  • А — площадь поперечного сечения одной заклепки;
  • п — число заклепок в соединении;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — число срезов в одной заклепке;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление материала заклепки срезу.

В местах контакта заклепки с соединяемыми элементами возникают усилия смятия, приводящие к образованию по площади контакта нормальных напряжений примеры решения задач по сопротивлению материалов. Считается, что эти напряжения распределяются по условной площади сечения (d t) равномерно. Условие прочности на смятие имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где N — сминающая сила: N =f (F);
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — суммарная площадь сопротивления смятию;
  • d -диаметр заклепки;
  • п — число заклепок в соединении;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — наименьшая суммарная толщина элементов соединения, сминающихся в одном направлении;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление материала смятию.

Количество заклепок в соединении определяется из условий прочности на срез (2.1) и смятие (2.2). В расчет принимается большее их количество.

Поскольку площадь поперечного сечения соединяемых элементов конструкции уменьшена (ослаблена) отверстиями под заклепки, требуется проверка их прочности на растяжение по нормальным напряжениям:

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где N — продольная сила в соединяемых элементах;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — площадь ослабленного сечения (нетто);
  • R — расчетное сопротивление материала соединяемых элементов на растяжение.

Ослабление сечения отверстиями под заклепки у прокатных профилей составляет около 15 % примеры решения задач по сопротивлению материаловБолтовые соединения рассчитываются аналогично заклепочным.

Пример задачи №2.1

Пример задачи 2.1 Стальная полоса 1 сечением 130 *8 мм, с расчетной нагрузкой F = 160 кН прикрепляется к фасонному листу 2 толщиной 10 мм заклепками диаметром d = 16 мм, рис. 2.3. Проверить прочность заклепочного соединения. Расчетные сопротивления: для соединяемых элементов — на растяжение R = 210 МПа, на смятие = 420 МПа, для заклепок — на срез = 200 МПа.

Расчет сварных соединений

В строительных конструкциях наиболее применимы сварные соединения внахлестку, которые выполняются угловыми (валиковыми) электрошвами. Швы, расположенные в направлении действующей силы, называются боковыми (фланговыми), а расположенные перпендикулярно к этому направлению — торцевыми (лобовыми), рис. 2.5.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Угловые швы (боковые и торцевые) работают в основном на срез. Образующиеся в них касательные напряжения считаются равномерно распределенными по площади среза.

Условие прочности на срез для угловых швов имеет вид.

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов— касательное напряжение по площади среза;
  • Q — усилие среза: Q =f(F);
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — площадь среза шва;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — коэффициент, зависящий от вида сварки: примеры решения задач по сопротивлению материалов = 0,7-1,0;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — толщина (катет) углового шва;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — суммарная расчетная длина швов;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление материала шва срезу.

Проектная длина каждого участка шва увеличивается на 1 см против расчетной в связи с неполным проваром его концов. Длина отрезка шва должна быть в пределах примеры решения задач по сопротивлению материалов

Пример задачи №2.3

Пример задачи 2.3 Стальная полоса, нагруженная расчетной силой F=160kH (рис. 2.6), угловыми швами приварена к фасонному листу. Толщина шва = 8 мм. Сварка выполнена ручным способом. Проверить прочность полосы и сварных швов, если R = 210 МПа,= 150 МПа.

Расчет врубок

Врубки как способ соединения деревянных элементов конструкций, вследствие различной сопротивляемости древесины вдоль и поперек волокон, рассчитываются на скалывание (сдвиг) вдоль волокон и смятие вдоль и поперек волокон по площади соприкосновения соединяемых элементов (рис. 2.8).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Условие прочности врубки на скалывание вдоль волокон имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов— касательное напряжение в зоне скалывания;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — усилие скалывания вдоль волокон;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — площадь скалывания вдоль волокон;
  • b — ширина врубки;
  • l — длина зоны скалывания;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление древесины на скалывание (вдоль волокон).

Условие прочности врубки на смятие вдоль волокон имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — нормальное напряжение по площади смятия (вдоль волокон);
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — усилие смятия вдоль волокон;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов— площадь смятия вдоль волокон;
  • F — сила, действующая на стропильную ногу;
  • b — ширина врубки; а — глубина врубки;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление древесины смятию вдоль волокон.

Условие прочности врубки на смятие поперек волокон имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов— нормальное напряжение по площади смятия (поперек волокон);
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — усилие смятия поперек волокон;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов— площадь смятия поперек волокон;
  • с — длина врубки;
  • b — ширина врубки;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление древесины смятию поперек волокон.

Соединение деревянных элементов конструкций при помощи шпонок, а также соединение на шип рассчитываются аналогично расчету врубок.

Пример задачи №2.5

Пример задачи 2.5 Соединение стропильной ноги 1 с затяжной 2 выполнено с помощью лобовой врубки. Усилие в стропильной ноге F = 100 кН (рис. 2.9).

Геометрические характеристики плоских сечений

Плоское поперечное сечение любого стержня характеризуется рядом геометрических величин: площадью А;

  • координатами центра тяжести примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов;
  • статическим моментом S;
  • осевыми моментами инерции примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов;
  • полярным моментом инерции примеры решения задач по сопротивлению материалов;
  • центробежным моментом инерции примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Эти величины используются при расчетах элементов конструкций на прочность и жесткость.

Площадь поперечного сечения А характеризует сопротивляемость стержня растяжению и сжатию.

Осевые моменты инерции примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов характеризуют сопротивляемость изгибу, а полярный примеры решения задач по сопротивлению материалов — кручению, в зависимости от размеров и формы сечения.

Формулы для определения некоторых геометрических характеристик для простых фигур приведены на рис. 3.1.

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок) данные о геометрических характеристиках приводятся в соответствующих стандартах на сортаменты (приложения).

Для определения координат центра тяжести сложного сечения произвольно выбирается прямоугольная система вспомогательных осей XOY. Сечение разделяется на простые фигуры, центры тяжести и площади которых легко определяются, отмечаются эти центры примеры решения задач по сопротивлению материалов, проводятся центральные оси примеры решения задач по сопротивлению материалов, и обозначаются расстояния примеры решения задач по сопротивлению материалов, и примеры решения задач по сопротивлению материалов,- от центральной оси каждой простой фигуры до вспомогательных осей (рис. 3.2).

Координаты центра тяжести сложного сечения определяются по формулам

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов— сумма статических моментов простых фигур относительно соответствующей вспомогательной оси;

примеры решения задач по сопротивлению материалов — суммарная площадь простых фигур.

примеры решения задач по сопротивлению материалов
примеры решения задач по сопротивлению материалов

Статические моменты площади сечения относительно вспомогательных осей равны произведению площади на расстояние от ее центра тяжести до данной оси:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов — координаты центра тяжести отдельных простых фигур в системе вспомогательных осей;

примеры решения задач по сопротивлению материалов; — площади сечений этих отдельных фигур.

Статический момент площади фигуры в зависимости от положения фигуры относительно рассматриваемой оси может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Статический момент площади относительно центральной оси равен нулю.

Если фигура имеет ось симметрии, то ее центр тяжести лежит на этой оси. Если фигура имеет две оси симметрии, то ее центр тяжести совпадает с точкой пересечения этих осей.

Осевые и центробежные моменты инерции сложного сечения относительно его центральных осей примеры решения задач по сопротивлению материалов определяются исходя из значений моментов инерций для простых фигур с учетом

формулы перехода к параллельным осям (переход от центральной оси простой фигуры к центральной оси всего сечения):

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов— моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей;

примеры решения задач по сопротивлению материалов, и примеры решения задач по сопротивлению материалов — расстояния между центральными осями простых фигур и центральными осями всего сечения (см. рис. 3.2).

Моменты инерции измеряются единицами длины в четвертой степени (примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов). Осевые моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения фигуры относительно координатных осей.

Центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей, из которых хотя бы одна является осью симметрии, равен нулю.

Для неравнополочного и равнополочного уголков значение центробежного момента инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где примеры решения задач по сопротивлению материалов — минимальный момент инерции сечения (приводится в сортаменте).

В некоторых сортаментах приводятся готовые значения примеры решения задач по сопротивлению материалов. Знакпримеры решения задач по сопротивлению материалов для уголка зависит от его положения в сечении. Рекомендуется пользоваться схемой, приведенной на рис. 3.1, где показаны возможные положения уголка в сечении и приведены знаки для примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Главные центральные оси

При повороте центральных взаимно перпендикулярных осей примеры решения задач по сопротивлению материалов вокруг центра тяжести сечения (точки О) значения осевых и центробежного моментов инерции изменяются. При некотором положении этих осей центробежный момент инерции сечения станет равным нулю. Эти оси называются главными центральными и обозначаются буквами U и V. Положение их обусловлено углом примеры решения задач по сопротивлению материалов(см. рис. 3.2), определяемым по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов


Угол примеры решения задач по сопротивлению материалов отсчитывается от оси с большим моментом инерции (примеры решения задач по сопротивлению материаловили примеры решения задач по сопротивлению материалов), положительное значение — против хода часовой стрелки. Так определяется положение оси U, а ось V ей перпендикулярна.

Осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей имеют экстремальные значения (максимальное примеры решения задач по сопротивлению материалови и минимальное примеры решения задач по сопротивлению материалов) и определяются по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов

В теории сопротивления материалов доказывается, что сумма осевых моментов инерции сечения при повороте осей относительно их центра тяжести не изменяется, т. е.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Это положение может быть использовано для контроля определения моментов инерции, вычисленных по формуле (3.5).

В сечении, имеющем одну ось симметрии, эта ось является одной из главных центральных осей. Если сечение имеет две оси симметрии, то они являются главными центральными осями.

Главные центральные моменты инерции, как имеющие экстремальные значения, характеризуют наибольшую и наименьшую жесткость (сопротивляемость) балки при изгибе. Они позволяют рационально расположить сечение балки по отношению к нагрузке.

Пример задачи №3.1

Пример задачи 3.1 Для заданного сечения определить значения главных центральных моментов инерции.

Кручение

Стержень подвергается деформации кручения при нагружении его парой сил F, лежащих в плоскости, перпендикулярной продольной оси Z. Пара сил приводится к моменту

примеры решения задач по сопротивлению материалов

который называется скручивающим (внешним) моментом (рис. 4.1)

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Прямой стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом. Нагрузка вала (скручивающие моменты) образуется от приводных шкивов и зубчатых колес, насаженных на вал, а также от двигателя.

Если вал находится в состоянии покоя или равномерного вращения, условие равновесия выражается уравнением

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Внутренние силы при кручении

В поперечных сечениях скручиваемого стержня возникают внутренние силы сопротивления — крутящие моменты Т. Они определяются методом сечении, по которому стержень мысленно разделяется на две части и рассматривается равновесие любой из них (см. рис. 4.1).

Из условия равновесия вытекает, что крутящий момент Т в сечении вала равен алгебраической сумме всех скручивающих моментов примеры решения задач по сопротивлению материалов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения (слева или справа):

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Правило знаков для моментов таково: скручивающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов образует в поперечном сечении положительный крутящий момент (Т> 0), если он (примеры решения задач по сопротивлению материалов) направлен по ходу часовой стрелки при взгляде со стороны сечения, и наоборот.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 4.2.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Поскольку сопротивление кручению материалов в ту или другую сторону одинаково, можно применять и обратное правило знаков.

По вычисленным значениям Т на расчетных участках вала (между сечениями, где приложены моменты) строится эпюра крутящих моментов.

Кручение стержней круглого поперечного сечения

Напряжения при кручении

При кручении стержня круглого поперечного сечения применима гипотеза плоских сечений — смежные сечения поворачиваются одно относительно другого, оставаясь плоскими при неизменном расстоянии между ними. Радиусы, проведенные в сечении до деформации, остаются прямыми и после нее.

Элементы материала скручиваемого стержня испытывают деформацию чистого сдвига и сопровождаются касательными напряжениями примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Формула для определения касательного напряжения примеры решения задач по сопротивлению материаловв любой точке скручиваемого стержня круглого поперечного сечения имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где Т— крутящий момент в рассматриваемом сечении стержня;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — полярный момент инерции сечения стержня;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расстояние от рассматриваемой точки до центра тяжести сечения (радиус рассматриваемой точки сечения).

Касательные напряжения распределяются по поперечному сечению стержня неравномерно, нарастая от продольной оси Z к поверхности по линейному закону: в центре тяжести сечения примеры решения задач по сопротивлению материалов= 0;

на контуре сечения, где примеры решения задач по сопротивлению материалов — достигают максимального значения примеры решения задач по сопротивлению материалов (рис. 4.3).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Максимальные касательные напряжения в скручивающем стержне

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где r — радиус сечения стержня.

Отношение

примеры решения задач по сопротивлению материалов

называется полярным моментом сопротивления, который характеризует сопротивляемость сечения деформации кручения в зависимости от его размеров и формы.

Поскольку в поперечном сечении скручиваемого стержня возникают только касательные напряжения, материал его находится в условиях чистого сдвига, как частный случай плоского напряженного состояния.

Если кручение стержня происходит от нагрузки в состоянии покоя (статическое действие), то условие прочности для пластичного материала используется в виде

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Для стержня круглого (сплошного и кольцевого) сечения условие прочности при кручении принимает вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — максимальный крутящий момент в стержне;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов— полярный момент сопротивления сечения;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — расчетное сопротивление материала стержня сдвигу. Для круглого сплошного сечения
примеры решения задач по сопротивлению материалов

Для кольцевого сечения

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где d — диаметр сплошного (наружный диаметр кольцевого) сечения; с — отношение внутреннего диаметра примеры решения задач по сопротивлению материалов к наружному d в кольцевом сечении примеры решения задач по сопротивлению материалов

Деформации при кручении. Условие жесткости

При кручении стержня круглого поперечного сечения его продольная ось остается прямой и не изменяет своей длины. Поперечные сечения, оставаясь плоскими и перпендикулярными к продольной оси, поворачиваются на некоторый угол примеры решения задач по сопротивлению материалов(рис. 4.4).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Абсолютный угол закручивания (поворота сечения) определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — угол закручивания (в радианах);
  • Т — крутящий момент на участке стержня;
  • l — длина участка стержня;
  • G — модуль сдвига материала стержня;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — полярный момент инерции.

Для сплошного круглого сечения

примеры решения задач по сопротивлению материалов

для кольцевого

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Вычислив значения примеры решения задач по сопротивлению материалов на участках стержня, можно найти перемещения граничных сечений и построить эпюру перемещений (см. примеры).

Величина угла закручивания ограничивается определенными пределами, которые обычно задаются в относительных величинах.

Условие жесткости при кручении имеет вид

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — относительный угол закручивания;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — наибольший допустимый угол закручивания (радиан/метр). Напомним, что
примеры решения задач по сопротивлению материалов

Из условий прочности и жесткости можно решить три типа задач: проверить прочность и жесткость стержня, определить его диаметр и наибольшую допустимую нагрузку.

При определении диаметра стержня по названным условиям из двух его найденных значений принимается большее.

Значение скручивающего момента примеры решения задач по сопротивлению материалов, передаваемого двигателем на вал, определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где Р — мощность двигателя, кВт;
  • п — частота вращения, об/мин.

Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

При кручении стержня прямоугольного поперечного сечения

примеры решения задач по сопротивлению материалов

гипотеза плоских сечений на опыте не подтверждается — поперечные сечения искривляются (депланируют) и касательные напряжения распределяются по сечению по более сложному закону (рис. 4.5).

Наибольшие касательные напряжения возникают посередине длинной стороны сечения и определяются по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — момент сопротивления при кручении;
  • b и h — меньшая и большая стороны прямоугольного сечения;
  • а — коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника (h/b), принимаемый по табл. 4.1
примеры решения задач по сопротивлению материалов

Посередине короткой стороны касательные напряжения составляют часть максимального напряжения по длинной стороне:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

гдепримеры решения задач по сопротивлению материалов — коэффициент, зависящий от отношения h/b.

В угловых точках и в центре тяжести прямоугольного сечения касательные напряжения равны нулю.

Угол закручивания стержня прямоугольного сечения определяется по формуле

примеры решения задач по сопротивлению материалов
  • где примеры решения задач по сопротивлению материалов — момент инерции при кручении стержня прямоугольного сечения;
  • примеры решения задач по сопротивлению материалов — коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника.

Значения коэффициентов примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов для прямоугольного сечения приведены в табл. 4.1.

Пример задачи №4.1

Пример задачи 4.1 Стальной стержень круглого поперечного сечения (рис. 4.6) находится под действием скручивающей нагрузки (моментов ). Определить диаметр стержня из условий прочности и жесткости. Для материала стержня

Прямой изгиб

Изгиб — это деформация, при которой происходит искривление оси бруса. Изгиб бывает плоский и пространственный, прямой и косой.

В этом разделе рассматривается плоский прямой изгиб, при котором вся нагрузка, включая и реакции опор, лежит в одной плоскости, называемой силовой ), и эта плоскость проходит по линии симметрии поперечных сечений балки (рис. 5.1).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

При прямом изгибе деформированная ось балки также находится в плоскости действия нагрузки.

При изучении изгиба используется обычная система координатных осей: ось Z совпадает с продольной осью балки, а оси X и У

располагаются в плоскостях поперечных сечении и совпадают с главными центральными осями инерции.

Плоский изгиб балки может происходить в плоскости YOZ (вертикальной) или XOZ (горизонтальной).

Внутренние силы. Эпюры

Балка как элемент конструкции соединяется с другими элементами при помощи устройств, называемых опорами. Различают три типа опор: шарнирно-неподвижную, шарнирно-подвижную и защемление (заделка). Опорные устройства препятствуют произвольному перемещению балок от воздействия нагрузки, накладывая на балку определенное число связей (ограничений). В наложенных на балку связях возникают реакции, называемые опорными. Число опорных реакций равно числу наложенных связей.

Так, шарнирно-неподвижная опора А (рис. 5.2, а) имеет две связи -вертикальную и горизонтальную, дает две реакции примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов. Шар-нирно-подвижная опора В имеет одну связь — дает одну реакцию примеры решения задач по сопротивлению материалов . Защемление С имеет три связи — дает три реакции: примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов (рис. 5.2, б).

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Наименьшее число связей, обеспечивающих неподвижность балки по отношению к другим элементам конструкции в плоской системе сил, равно трем. Эти связи должны быть расположены рационально: не быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

Под действием нагрузки и опорных реакций балка должна находиться в равновесии. Поэтому для определения опорных реакций

можно воспользоваться тремя условиями равновесия (для плоской системы сил):

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Сумма моментов берется относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил.

Рекомендуется такой порядок определения опорных реакций:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Балки, опорные реакции которых можно определить при помощи трех уравнений равновесия, называются статически определимыми. Такие балки рассматриваются в настоящем разделе.

В результате действия внешних сил (нагрузки) в поперечных сечениях балки возникают внутренние силы (усилия): поперечная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов и изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов. Такой изгиб называют поперечным. В частном случае в поперечных сечениях балки может возникать только один изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов. В этом случае изгиб называют чистым. Внутренние силы, как и при других, изученных выше деформациях, определяются методом сечений.

Балка в исследуемом сечении мысленно рассекается на две части (рис. 5.3, а). Одна из частей балки мысленно отбрасывается. Поскольку вся балка находится в равновесии, то и оставшаяся ее часть (рис. 5.3, б) под действием известных внешних сил (активных q, М и реактивнойпримеры решения задач по сопротивлению материалов) и неизвестных внутренних примеры решения задач по сопротивлению материалов в исследуемом сечении также должна находиться в равновесии и удовлетворять условиям примеры решения задач по сопротивлению материалов (момент относительно центра тяжести рассматриваемого сечения):

примеры решения задач по сопротивлению материалов

откуда

примеры решения задач по сопротивлению материалов

откуда

примеры решения задач по сопротивлению материалов
примеры решения задач по сопротивлению материалов

Исходя из названных условий равновесия выработано правило определения поперечной силы примеры решения задач по сопротивлению материалов и изгибающего момента примеры решения задач по сопротивлению материалов в сечениях балки. При этом сами уравнения равновесия примеры решения задач по сопротивлению материалов не составляются, а сразу записываются выражения для примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов.

Правило таково — в рассматриваемом сечении балки:

поперечная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил (активных и реактивных), расположенных по одну сторону от этого сечения:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

изгибающий моментпримеры решения задач по сопротивлению материалов численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Для определения примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материаловможно рассматривать любую часть «рассеченной» балки.

  • При вычислении примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов принято следующее правило знаков:
  • -если внешняя сила (активная или реактивная) стремится повернуть рассматриваемую часть балки относительно центра тяжести исследуемого сечения по часовой стрелке, то возникающая в этом сечении поперечная сила считается положительной, а если против часовой стрелки — отрицательной;
  • -если внешняя сила (F, М, q) изгибает рассматриваемую часть балки относительно исследуемого сечения выпуклостью вниз, то возникающий в этом сечении изгибающий момент считается положительным, если выпуклостью вверх — отрицательным.

Изложенное правило знаков иллюстрируется на рис. 5.4.

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Для проведения расчетов балки на прочность необходимо знать максимальные значения примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов. Для этого нужно выявить закон изменения этих величин по длине балки:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Изменения примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов по длине балки удобно представлять графически в виде эпюр (рис. 5.5).

Исходя из нагрузки, на балке выделяют расчетные участки: между точками приложения сосредоточенных нагрузок (F, М) и в пределах распределенной (q).

В пределах каждого расчетного участка намечаются сечения (I, II, i) и отмечаются их положения в системе координатных осей примеры решения задач по сопротивлению материалов

примеры решения задач по сопротивлению материалов

Затем на каждом расчетном участке балки по ранее изложенным правилам составляются выражения для определения примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов. По составленным выражениям вычисляются значения примеры решения задач по сопротивлению материалови примеры решения задач по сопротивлению материалов в характерных сечениях каждого участка балки. По этим данным в выбранном масштабе строятся соответствующие эпюры (см. рис. 5.5).

Положительные ординаты примеры решения задач по сопротивлению материалов откладываются вверх от оси эпюры, отрицательные — вниз. Эпюра изгибающих моментов в строительном проектировании строится со стороны растянутых волокон балки. Это значит, что положительные значения примеры решения задач по сопротивлению материалов откладываются вниз от оси эпюры, а отрицательные — вверх.

При построении эпюр примеры решения задач по сопротивлению материалов и примеры решения задач по сопротивлению материалов и для проверки их правильности могут быть использованы дифференциальные зависимости между примеры решения задач по сопротивлению материалов, примеры решения задач по сопротивлению материалов и q:

примеры решения задач по сопротивлению материалов

где индекс z при Q и М означает, что эти параметры являются функцией абсциссы z балки.

Из названных дифференциальных зависимостей вытекает ряд важных следствий (см. рис. 5.5):

  1. Если на участке балки q = 0 (АС, DK), то поперечная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов = const, а изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов изменяется по линейному закону.
  2. Если на участке балки примеры решения задач по сопротивлению материалов, то поперечная силапримеры решения задач по сопротивлению материалов изменяется по линейному закону, а изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов— по закону параболы (выпуклостью по направлению нагрузки q).
  3. Если на участке балки поперечная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов = 0 (ЕК), то изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов = const.
  4. Если на участке балки поперечная сила примеры решения задач по сопротивлению материалов > 0 (AL), то изгибающий момент примеры решения задач по сопротивлению материалов возрастает, и наоборот (LE).
  5. В сечении балки, где поперечная сила переходит через нуль (примеры решения задач по сопротивлению материалов= 0), изгибающий момент имеет экстремальное значение (максимум или минимум) — сечение L.
  6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила F (сечение В,Е), на эпюре примеры решения задач по сопротивлению материалов имеется «скачок» на величину этой силы и в ее направлении, а на эпюре примеры решения задач по сопротивлению материалов — излом.
  7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент М (сечение E), на эпюре примеры решения задач по сопротивлению материаловимеется «скачок» на величину этого момента, а на эпюре примеры решения задач по сопротивлению материалов изменений нет.
  8. Поперечная сила в данном сечении балки может рассматриваться как тангенс угла наклона касательной к эпюре М в соответствующей этому сечению точке (точка N на рис. 5.5).

Из построенных эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для расчета на прочность выбираются максимальные значения примеры решения задач по сопроматуи ..примеры решения задач по сопромату.

Пример задачи №5.1

Пример задачи 5.1 Для консольной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.6).

Возможно вам будет полезна страница:

Учебники по сопротивлению материалов

Напряжения при изгибе. Условия прочности

Как было отмечено выше, в общем случае нагружения балки в ее поперечных сечениях возникают изгибающий момент примеры решения задач по сопромату и поперечная сила примеры решения задач по сопромату или в частном случае — только изгибающий момент (при чистом изгибе).

Принято считать, что при чистом изгибе поперечное сечение, плоское до деформации, остается плоским и после деформации (гипотеза плоских сечений). Предполагается, что продольные волокна балки не давят друг на друга, но каждое из них претерпевает простое растяжение или сжатие.

При изгибе продольные волокна балки принимают криволинейное очертание. При этом с выпуклой стороны они удлиняются (растягиваются), а с вогнутой — укорачиваются (сжимаются) (см. рис. 5.4). Существует промежуточный слой волокон, который не деформируется — это нейтральный слой. В поперечном сечении он проходит через центр тяжести сечения, совпадает с главной центральной осью и называется нейтральной осью (н.о.) или нулевой линией (н.л.). Нейтральная ось делит поперечное сечение балки на две части — растянутую и сжатую.

Поскольку волокна балки при чистом изгибе примеры решения задач по сопромату испытывают простое растяжение или сжатие, в них возникают нормальные напряжения примеры решения задач по сопромату, действующие перпендикулярно поперечному сечению (рис. 5.11, а).

примеры решения задач по сопромату

Нормальные напряжения ст в любой точке поперечного сечения балки определяются по следующей формуле:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — изгибающий момент в сечении балки;
  • примеры решения задач по сопромату— момент инерции сечения относительно нейтральной оси;
  • у — расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной оси.

Напряжение ст зависит от величины у линейно, поэтому эпюра нормальных напряжений прямолинейна (рис. 5.11, в). Максимальные нормальные напряжения появляются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси.

Знак нормальных напряжений устанавливается по смыслу: примеры решения задач по сопроматуесли точка расположена в растянутой зоне сечения и примеры решения задач по сопромату — если в сжатой. Характер деформации зоны сечения устанавливается по эпюре примеры решения задач по сопромату.

При поперечном изгибе примеры решения задач по сопромату характер деформации волокон балки несколько изменяется: отдельные волокна сдвигаются относительно друг друга, отчего поперечные сечения слегка искривляются, т. е. гипотеза плоских сечений нарушается.

Поскольку влияние указанных изменений на величину нормальных напряжений невелико, формула (5.1), полученная для случая чистого изгиба, используется и при поперечном изгибе.

Так как при поперечном изгибе волокна балки претерпевают сдвиг, в ее сечении возникают касательные напряжения х, которые лежат в плоскости сечения (рис. 5.12, а) и в любой его точке определяются по формуле Журавского:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — поперечная сила в сечении балки;
  • примеры решения задач по сопромату — статический момент части площади сечения, расположенной выше или ниже рассматриваемого слоя, относительно нейтральной оси; равен произведению отсеченной площади на расстояние от центра тяжести этой площади до нейтральной оси;

примеры решения задач по сопромату — момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; b — ширина сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

примеры решения задач по сопромату

Для произвольной точки К (рис. 5.12, б), расположенной на расстоянии примеры решения задач по сопромату от нейтральной оси, статический момент

примеры решения задач по сопромату

Считается, что касательные напряжения примеры решения задач по сопромату распределяются по ширине сечения равномерно. По высоте сечения т изменяются по закону параболы (рис. 5.12, в). Наибольшее касательное напряжение появляется на нейтральной оси, проходящей через центр тяжести сечения. В крайних точках сечения примеры решения задач по сопромату = 0, так как для этих точек примеры решения задач по сопромату = 0.

Следует обратить внимание, что напряжение примеры решения задач по сопромату достигает максимума в тех точках сечения, где напряжение примеры решения задач по сопромату= 0, а напряжение примеры решения задач по сопромату достигает максимума в тех точках, гдепримеры решения задач по сопромату = 0. Поэтому материал балки в различных точках по высоте сечения находится в разных напряженных состояниях.

Рассмотрим тавровое поперечное сечение (рис. 5.13).

В крайних точках поперечного сеченияпримеры решения задач по сопромату= 0, примеры решения задач по сопромату. Материал балки здесь находится в условиях линейного напряженного состояния (рис. 5.13, г) и условие прочности имеет вид примеры решения задач по сопромату

На нейтральной оси поперечного сеченияпримеры решения задач по сопромату = 0,примеры решения задач по сопромату примеры решения задач по сопромату. Здесь материал испытывает чистый сдвиг (рис. 5.13, в), являющийся частным случаем плоского напряженного состояния, и условие прочности записывается в виде примеры решения задач по сопромату

примеры решения задач по сопромату

Во всех остальных точках поперечного сечения изгибаемого стержня, где примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату имеет место общий случай плоского напряженного состояния (рис. 5.13, а, б) и проверку прочности следует вести по теориям прочности.

Для большинства случаев проверка прочности балок проводится отдельно по нормальным а и отдельно по касательным примеры решения задач по сопроматунапряжениям.

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату— максимальный изгибающий момент в балке;
  • примеры решения задач по сопромату — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;
  • примеры решения задач по сопромату — ордината точки сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси;
  • R — расчетное сопротивление материала балки растяжению (сжатию).

Для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтральной оси, условие прочности по нормальным напряжениям целесообразно использовать в виде

примеры решения задач по сопромату


где примеры решения задач по сопромату — момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Момент сопротивления сечения примеры решения задач по сопромату характеризует сопротивляемость балки изгибу и зависит только от формы и размеров поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения

примеры решения задач по сопромату

для круглого

примеры решения задач по сопромату

Для прокатных профилей (двутавр, швеллер) значения примеры решения задач по сопромату приведены в таблицах сортамента.

Отклонение максимального нормального напряжения от расчетного сопротивления не должно превышать ±5 %. При подборе сечений балок из прокатных профилей допускаются и более значительные отклонения в сторону уменьшения примеры решения задач по сопромату.

Проверку прочности балок, изготовленных из хрупкого материала, ведут по растягивающим напряжениям, так как расчетное сопротивление растяжению меньше, чем сжатию примеры решения задач по сопромату. Однако следует проверять и сжимающие напряжения.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — максимальная поперечная сила в балке;
  • примеры решения задач по сопромату— статический момент относительно нейтральной оси части площади сечения, расположенной от нейтральной оси до края сечения;
  • примеры решения задач по сопромату — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси;
  • b — ширина поперечного сечения балки у нейтрального слоя;
  • примеры решения задач по сопромату — расчетное сопротивление материала балки сдвигу.

В сопротивлении материалов принято, что касательные напряжения во всех точках прямоугольного поперечного сечения параллельны силе примеры решения задач по сопромату. В действительности для некоторых других форм сечений (круг, двутавр, швеллер) по контуру сечения и в крайних точках его направление примеры решения задач по сопромату несколько изменяется.

Поскольку максимальные касательные напряжения (по которым ведется проверка прочности) расположены на нейтральной оси, где примеры решения задач по сопромату параллельны Q, формула (5.5) применима практически для всех типов сечений.

Для отдельных форм сечения балок (двутавр, швеллер, тавр) и в отдельных случаях нагружения (короткая балка, большая нагрузка вблизи опор) возникает необходимость проверить прочность не в крайних точках сечения и не на нейтральной оси, а в некоторой промежуточной точке, например К, где одновременно действуют и нормальные примеры решения задач по сопромату и касательные примеры решения задач по сопромату напряжения (см. рис. 5.13), т. е. произвести полную проверку прочности.

По граням прямоугольного элемента, выделенного вокруг т. К, действует система напряжений: по поперечным сечениям примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату, по продольным — только т (по закону парности касательных напряжений) (см. рис. 5.13, а).

При некотором положении прямоугольного элемента (под углом примеры решения задач по сопромату к нейтральной оси) по его граням касательные напряжения станут равными нулю (примеры решения задач по сопромату = 0), а нормальные примеры решения задач по сопроматудостигнут экстремальных (максимальных или минимальных) значений (см. рис. 5.13, б), которые называются главными напряжениями и определяются по формуле

примеры решения задач по сопромату

гдепримеры решения задач по сопроматуипримеры решения задач по сопромату— напряжения в поперечном сечении, определяемые по формулам (5.1) и (5.2).

Положение главных площадок (направление главных напряжений) определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату

где угол примеры решения задач по сопромату отсчитывается от направления нейтральной оси. Положительные значения — против хода часовой стрелки.

По площадкам, образующим с главными площадками угол 45° (рис. 5.13, в)у действуют максимальные касательные напряжения

примеры решения задач по сопромату

Для полной проверки прочности балки сначала по эпюрам примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату находится сечение, в котором оба их значения одновременно возможно большие. Это будет опасное сечение. Далее по высоте сечения выбирается точка, в которой одновременно значения примеры решения задач по сопроматуипримеры решения задач по сопромату также возможно большие. Это будет опасная точка сечения. Для прямоугольного сечения эта точка не явна. Для сечений типа двутавр, швеллер, тавр опасная точка — точка соединения стенки с полкой.

Полная проверка прочности балки проводится по гипотезам прочности.

Для пластического материала, например, по четвертой (энергетической) теории, условие прочности имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — приведенное напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — напряжения в проверяемой точке сечения.

Рациональной формой сечения балки будет та, при которой обеспечена прочность при малом весе. В большинстве случаев потеря прочности связана с нормальными напряжениями. Из эпюры ст (см. рис. 5.12, 5.13) видно, что материал у нейтральной оси напряжен слабо. Поэтому часть материала можно «перенести» от нейтральной оси к краям сечения, где напряжения большие и где материал будет использоваться полнее. Чем дальше от нейтральной оси расположены частицы сечения, тем больше будет момент сопротивления примеры решения задач по сопромату.

Экономичность поперечного сечения балки можно оценить отношением примеры решения задач по сопромату : чем больше это отношение, тем экономичнее сечение.

Для пластичных материалов (сталь) рациональной является форма двутавра.

Для хрупких материалов (чугун), у которых сопротивление сжатию больше, чем растяжению, рациональным является такой тип сечения, у которого нейтральная ось сдвинута в сторону растянутых волокон. Это тавровое сечение.

Практика показала, что в большинстве случаев расчет балок на прочность ведется по нормальным напряжениям для крайних точек сечения по условию

примеры решения задач по сопромату

По этому условию можно решить три типа задач:

  • проверить прочность примеры решения задач по сопроматупри заданной форме и размерах сечения;
  • подобрать размеры поперечного сечения (через примеры решения задач по сопромату) при принятой форме сечения;
  • определить наибольшую допустимую нагрузку (через примеры решения задач по сопромату) при известной форме и размерах поперечного сечения.

Деформации при изгибе. Проверка на жесткость

Под действием нагрузки балка деформируется. Ось ее искривляется и при плоском изгибе представляет собой плавную плоскую кривую, называемую упругой линией (или осью изогнутой балки). При этом поперечные сечения балки претерпевают перемещения, преимущественно линейные примеры решения задач по сопромату (прогиб перпендикулярно оси балки) и угловые примеры решения задач по сопромату (угол поворота сечения относительно первоначального положения) (рис. 5.19). Перемещения вдоль оси Z незначительные и ими пренебрегают.

примеры решения задач по сопромату

Для определения перемещений балки необходимо получить уравнения ее упругой линии: примеры решения задач по сопроматуТакие уравнения в дифференциальной форме составлены для случая чистого изгиба примеры решения задач по сопромату. Поскольку влияние поперечной силы примеры решения задач по сопромату на величину перемещений незначительно, уравнения

считаются допустимыми и для случая поперечного изгиба, когда примеры решения задач по сопромату

Для определения перемещений (примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату) в балке существует несколько методов.

  1. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Метод применяется для простых балок с одним или двумя участками нагружения.
  2. Метод начальных параметров: используются универсальные уравнения упругой линии балки, пригодные для любых (по сложности нагрузок) балок и позволяющие определить перемещения в любых ее сечениях.
  3. Метод Мора с непосредственным интегрированием формулы перемещений, а также с использованием правила Верещагина для решения интеграла Мора. Метод универсален, применим как для прямых, так и ломаных стержней, как при изгибе, так и других деформациях. Целесообразен для определения перемещений в конкретном сечении.

В настоящее время для определения перемещений в балках наиболее часто используются универсальные уравнения упругой линии, а также формула Мора и правило Верещагина.

Проверка жесткости балки сводится к требованию, по которому наибольший прогиб примеры решения задач по сопромату не должен превышать определенной, установленной нормами проектирования, допустимой величины.

Обычно нормами задается допустимый относительный прогиб, т. е. максимальный прогиб, отнесенный к длине пролета (расстоянию между опорами).

В зависимости от назначения конструкции допустимый относительный прогиб в строительном проектировании колеблется в пределах

примеры решения задач по сопромату


Условие жесткости при изгибе имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — максимальный прогиб в пролете балки;
  • примеры решения задач по сопроматудопустимый относительный прогиб.

Практически можно считать, что максимальный прогиб в пролетной части балки наблюдается посередине ее длины. Прогибы на консолях оговариваются отдельно.

Метод начальных параметров

За начало координатных осей выбирается крайнее левое сечение балки, а положительные направления их — вправо (Z) и вверх (Y) (рис. 5.20).

примеры решения задач по сопромату

Универсальными уравнениями оси изогнутой балки (упругой линии) являются:

уравнение углов поворота сечений

примеры решения задач по сопромату

уравнение прогибов

примеры решения задач по сопромату
  • где E — модуль продольной упругости материала балки;
  • Jx — момент инерции сечения балки относительно нейтральной оси;
  • примеры решения задач по сопромату — угол поворота исследуемого сечения балки;
  • примеры решения задач по сопромату — угол поворота сечения в начале координатных осей (начальный параметр);
  • примеры решения задач по сопромату — прогиб в исследуемом сечении балки;
  • примеры решения задач по сопромату — прогиб балки в начале координатных осей (начальный параметр);
  • z — абсцисса исследуемого сечения;
  • примеры решения задач по сопромату — абсциссы точек приложения соответствующей внешней силы (М, F) и начала распределенной нагрузки q;
  • М, F, q — внешние силы (активные и реактивные).

При составлении уравнений упругой линии балки для конкретного сечения следует включать в них только те силовые факторы, которые расположены левее этого сечения, и назначить знаки слагаемых, принятые для изгибающих моментов (см. рис. 5.4).

Если распределенная нагрузка q не доходит до конца балки, то ее продлевают и прикладывают компенсирующую нагрузку примеры решения задач по сопромату(рис. 5.21, а).

примеры решения задач по сопромату

Начальные параметры примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату определяются из условий закрепления опор балок: в защемлении примеры решения задач по сопромату = 0, примеры решения задач по сопромату = 0 (см. рис. 5.21, а), на шарнирной опоре примеры решения задач по сопромату (рис. 5.21, б).

Если начало отсчета координатных осей находится на свободном конце балки (рис. 5.21, в), начальные параметры примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату определяются из условий закрепления на опорах: примеры решения задач по сопромату

По вычисленным значениямпримеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопроматув характерных сечениях балки (обычно на границе расчетных участков) можно построить графики — эпюры углов поворота сечений примеры решения задач по сопромату и прогибов примеры решения задач по сопромату.

В сечениях балки, где примеры решения задач по сопромату = 0, на эпюре примеры решения задач по сопромату имеется перегиб, а сам прогиб достигает максимального значения (рис. 5.21, г).

При решении задач следует иметь в виду, что положительный прогиб примеры решения задач по сопромату направлен вверх (в сторону положительного направления оси Y), а положительный угол поворота сеченияпримеры решения задач по сопромату — против хода часовой стрелки (от первоначального положения сечения).

Пример задачи №5.11

Пример задачи 5.11 Для консольной балки определить углы поворота и прогибы сечений В и С (в долях от жесткости сечения балки — ), рис. 5.22.

Метод Мора и Верещагина

Формула (интеграл) Мора, позволяющая определить перемещения в любом отдельном сечении балки, имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — перемещение (угловое, линейное) в исследуемом сечении;
  • примеры решения задач по сопромату — выражение изгибающих моментов от заданной нагрузки;
  • М — выражение изгибающих моментов от вспомогательной единичной силы;
  • примеры решения задач по сопромату— жесткость сечения балки.

На рис. 5.26, а показана заданная балка, у которой нужно определить угол поворота примеры решения задач по сопроматуи прогиб примеры решения задач по сопромату концевого сечения.

На рис. 5.26, б, в показаны вспомогательные состояния той же балки.

примеры решения задач по сопромату

При определении прогибапримеры решения задач по сопромату в искомом сечении прикладывается единичная сила F = 1, а при определении угла поворота — единичный момент М= 1.

Составляются выражения для примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопроматуи по формуле (5.11) определяется искомое перемещение.

Если балка имеет сложную нагрузку и много участков нагруже-ния, непосредственное интегрирование выражений изгибающих моментов трудоемко.

Вместо непосредственного вычисления интеграла Мора можно воспользоваться способом Верещагина — это графоаналитический прием решения интеграла перемещений, основанный на перемножении эпюр.

По способу Верещагина перемещение примеры решения задач по сопромату (угол поворота сечения или прогиб) в любом сечении балки определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, — площадь эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки (силовая площадь);
  • примеры решения задач по сопромату; — ордината эпюры изгибающих моментов от единичной силы, лежащая против центра тяжести эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки.

Определяются (рис. 5.27) прогиб примеры решения задач по сопромату в сечении п и угол поворота примеры решения задач по сопромату в сечении т.

примеры решения задач по сопромату

На рис. 5.27, а изображена эпюра изгибающих моментов примеры решения задач по сопромату от заданной нагрузки.

На рис. 5.27, б — единичная эпюра примеры решения задач по сопромату от вспомогательной единичной силы F = 1 (для определения прогиба примеры решения задач по сопромату), а на рис. 5.27, в -единичная эпюра примеры решения задач по сопромату от вспомогательного единичного момента М = 1 (для определения угла поворота примеры решения задач по сопромату).

Эпюра примеры решения задач по сопромату, которая может быть любой формы, в пределах расчетных участков разделяется на простые фигуры, площади и центры тяжести которых можно легко определить.

По формуле (5.12) прогиб в сечении п

примеры решения задач по сопромату

угол поворота в сечении т

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — площади простых фигур на одной из эпюр изгибающих моментов;
  • у, у’ — ординаты под центром тяжести этих фигур на другой эпюре.

Эпюры изгибающих моментов от единичных сил всегда прямолинейны.

Если в пределах расчетного участка обе эпюры (примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату ) прямолинейны, то можно брать площадь со любой из них. Если эпюра примеры решения задач по сопромату криволинейна, то площадь примеры решения задач по сопромату берется обязательно с этой эпюры.

Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения (примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату) совпадает с направлением единичной силы (или момента); если результат отрицательный — перемещение происходит в обратном направлении вектора единичной силы.

В табл. 5.1 приведены выражения для определения площадей некоторых простых фигур и положение их центра тяжести.

примеры решения задач по сопромату

Параболические эпюры, приведенные в табл. 5.1, получены от действия только распределенной нагрузки q.

В тех случаях, когда в сложной эпюре примеры решения задач по сопромату криволинейные участки получены от одновременного действия q, F, М, их (участки) надо разделить на простые фигуры (см. примеры).

Пример задачи №5.15

Пример задачи 5.15 Определить угол поворота и прогиб сечения В консольной балки (в долях от жесткости сечения ), рис. 5.28.

Статически неопределимые балки

Статически неопределимыми называются балки, опорные реакции у которых невозможно определить при помощи одних лишь уравнений равновесия, так как они имеют «лишние» неизвестные реакции.

Степень статической неопределимости определяется разностью между числом неизвестных реакций и числом независимых уравнений равновесия.

Балки, изображенные на рис. 6.1, имеют четыре опорные связи, а следовательно и четыре опорные реакции. При трех возможных уравнениях равновесия примеры решения задач по сопромату они являются один раз статически неопределимыми (4 — 3 = 1).

примеры решения задач по сопромату

Раскрытие статической неопределимости балки заключается в определении лишних неизвестных реакций путем составления дополнительных уравнений к имеющимся уравнениям равновесия. Дополнительных уравнений должно быть столько, сколько лишних неизвестных, т. е. сколько раз балка статически неопределима.

Существует несколько методов раскрытия статической неопределимости балок. Выбор метода связан со степенью статической неопределимости. Если «лишних» неизвестных немного (одна-две), дополнительные уравнения целесообразно составить, исходя из деформационных условий (прогибов) на опорах балки, используя метод начальных параметров.

У неразрезных балок степень статической неопределимости может быть высокой. В таких случаях дополнительные уравнения составляются исходя из деформационных условий (углов поворота сечений) на промежуточных опорах балки с использованием метода сил.

Из совместного решения уравнений равновесия и дополнительных уравнений определяются все опорные реакции балки.

Для расчета статически неопределимой балки выбирается так называемая основная система, которая получается из статически неопределимой балки путем удаления «лишних» связей. Основная система должна быть статически определимой, геометрически и кинематически неизменяемой.

В качестве «лишних» неизвестных могут быть выбраны внешние (реакции опор) или внутренние факторы (изгибающие моменты в каком-либо сечении балки).

Дополнительные уравнения составляются из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки. Существует несколько способов составления этих уравнений. Наиболее общим и распространенным является метод сил.

В неразрезной балке (рис. 6.2, а) решение по методу сил получается наименее трудоемким, если основную систему выбрать путем установки шарнира на промежуточной опоре (рис. 6.2, б). Тогда неразрезная балка разделится на две статически определимые, а в качестве неизвестной принимается изгибающий момент на промежуточной опоре (обозначается буквой X).

Эквивалентная система получается путем загружения основной системы заданными внешними силами и неизвестными опорными моментами (рис. 6.2, в) и составлением условия совместности перемещения (основной системы и заданной балки).

Система канонических уравнений метода сил, полученная исходя из условий совместности перемещений основной системы и заданной балки, имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — неизвестные изгибающие моменты на промежуточных опорах;
  • примеры решения задач по сопромату— коэффициенты — перемещения от единичных сил;
  • примеры решения задач по сопромату— свободные члены — перемещения от заданных внешних сил (F, q, М).
примеры решения задач по сопромату

Первый индекс коэффициентов и свободных членов уравнений означает направление перемещения и одновременно номер промежуточной опоры, второй — причину, вызвавшую перемещение (номер единичной силы).

Физический смысл уравнений метода сил для неразрезных балок заключается в неразрывности упругой линии над промежуточными опорами, т. е. в совместности угловых перемещений примеры решения задач по сопромату сечений над опорами (рис. 6.2, и).

Для определения параметров канонических уравнений необходимо построить эпюры изгибающих моментов для однопролетных балок основной системы: сначала от заданной нагрузки (грузовые эпюры примеры решения задач по сопромату), рис. 6.2, г, а затем от опорных моментов, принятых равными единице: X = 1 (единичные эпюры примеры решения задач по сопромату ), рис. 6.2, д.

Коэффициенты примеры решения задач по сопромату, и свободные члены примеры решения задач по сопромату, канонических уравнений определяются по способу Верещагина путем перемножения единичных и грузовых эпюр:

примеры решения задач по сопромату

У одной из эпюр берется ее площадь примеры решения задач по сопромату, а у другой — ордината у, измеренная против центра тяжести первой (см. п. 5.3).

Перемножая единичные эпюры сами на себя, получают значения примеры решения задач по сопромату а между собой примеры решения задач по сопромату Исходя из теоремы о взаимности перемещений справедливы равенства примеры решения задач по сопромату Перемножив грузовые эпюры на единичные, получают значения свободных членов примеры решения задач по сопромату

Решив систему канонических уравнений, находят значения изгибающих моментов на промежуточных опорах неразрезной балки: примеры решения задач по сопроматуЭтим заканчивается раскрытие ее статической неопределимости.

Окончательные эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М строятся отдельно для каждого пролета балки, загруженного заданной нагрузкой и найденными опорными реакциями с учетом их знаков (рис. 6.2, е, ж).

Эпюра прогибов (см. рис. 6.2, и) строится по значениям прогибов, полученных любым из ранее названных способов.

Заметим, что на промежуточной опоре В угол поворота одинаковый как для левого примыкающего сечения, так и для правого, т. е. выполняется условие совместности перемещений, заложенное в канонические уравнения.

Расчет статически неопределимых балок на прочность и жесткость ведется так же, как и статически определимых.

Пример задачи №6.1

Пример задачи 6.1 Для балки (рис. 6.3, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и определить прогиб посередине пролета. Изобразить ось изогнутой балки.

Анализ напряженного состояния в точке

В разделе «Введение» было определено, что материал конструкции может находиться в линейном, плоском или объемном напряженном состоянии, в зависимости от того, испытывает ли выделенный вокруг точки элементарный параллелепипед растяжение или сжатие соответственно в одном, двух или трех взаимно перпендикулярных направлениях. В этом разделе рассматриваются линейное и плоское напряженные состояния. Объемное напряженное состояние рассматривается в курсе «Теория упругости».

Анализ напряженного состояния в точке деформированного тела сводится к определению напряжений в наклонных площадках при известных главных напряжениях (прямая задача) и определению главных напряжений по известным не главным напряжениям (обратная задача).

Значения главных напряжений используются при проверке прочности элементов конструкций по соответствующим теориям прочности.

Нормальные и касательные напряжения на площадках элемента определяются по формулам сопротивления материалов, а также методами теории упругости. Эти напряжения могут быть получены и опытным путем посредством электротензометрии.

Установим правило знаков для напряжений. Растягивающее нормальное напряжение будем считать положительным, сжимающее -отрицательным. Касательное напряжение будет положительным, если оно стремится повернуть бесконечно малый элемент конструкции по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 7.1).

примеры решения задач по сопромату

Линейное напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся растяжению-сжатию, в некоторых точках сечений изгибаемых элементов и других видах деформаций (сопротивлений).

При линейном (одноосном) напряженном состоянии по исходным граням элемента действуют только нормальные напряжения и только в одном направлении (по одной оси): примеры решения задач по сопромату — при растяжении (рис. 7.2, а) или примеры решения задач по сопромату — при сжатии (рис. 7.2, б). Касательные напряжения по этим граням отсутствуют.

примеры решения задач по сопромату

В наклонных площадках (сечениях), образующих новый элемент внутри исходного, действуют как нормальные, так и касательные напряжения (рис. 7.3, а).

примеры решения задач по сопромату

Угол примеры решения задач по сопромату, отсчитываемый от направления главного напряжения к нормали Р в наклонной площадке против хода часовой стрелки, считается положительным (рис. 7.3, б).

При решении прямой задачи, т. е. при определении нормальных и касательных напряжений в наклонных площадках, используются следующие формулы:

примеры решения задач по сопромату


Здесь примеры решения задач по сопромату— нормальное напряжение в поперечном сечении стержня. Из формул (7.1) и (7.2) следует, что примеры решения задач по сопромату

Проведем анализ напряжений в элементе при линейном напряженном состоянии:

примеры решения задач по сопромату

Очевидно, что максимальные нормальные напряжения появляются при примеры решения задач по сопромату = 0, т. е. в поперечном сечении стержня. Максимальные касательные напряжения появляются в наклонном под углом 45° сечении и равны половине нормального напряжения.

Пример задачи №7.1

Пример задачи 7.1 На элементарный параллелепипед, выделенный в окрестности некоторой точки деформированного стержня, действует нормальное напряжение (рис. 7.4).

Плоское напряженное состояние

Этот вид напряженного состояния имеет место в материале элементов конструкций, подвергающихся изгибу, в трубах с внутренним давлением, при изгибе с кручением и других видах деформаций (сопротивлений).

При плоском (двухосном) напряженном состоянии в элементе, выделенном в окрестности исследуемой точки, по двум взаимно перпендикулярным направлениям:примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопроматуили примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату, илипримеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату (рис. 7.6), действуют два главных отличных от нуля напряжения

примеры решения задач по сопромату

Решение прямой задачи — определение напряжений по наклонным площадкам при известных главных напряжениях, действующих по исходным граням (рис. 7.7), производится по формулам

примеры решения задач по сопромату
примеры решения задач по сопромату

Таким образом, примеры решения задач по сопромату, т. е. по двум взаимно перпендикулярным

площадкам всегда действуют равные по величине касательные напряжения, направленные так, что поворачивают элемент в противоположные направления — закон парности касательных напряжений. При любых значениях угла примеры решения задач по сопромату

примеры решения задач по сопромату

Наибольшие нормальные напряжения в случае плоского напряженного состояния

примеры решения задач по сопромату

а наибольшие касательные напряжения

примеры решения задач по сопромату

Угол примеры решения задач по сопромату отсчитывается от большего главного напряжения против хода часовой стрелки при положительном его значении (см. рис. 7.3,б).

Для определения значений главных напряжений, максимальных касательных напряжений, а также положения главных площадок (обратная задача) используются формулы

примеры решения задач по сопромату

при этом примеры решения задач по сопромату или примеры решения задач по сопромату (рис. 7.8).

примеры решения задач по сопромату

Плоское напряженное состояние, при котором примеры решения задач по сопромату, называют чистым сдвигом. В этом случае по площадкам под углом примеры решения задач по сопроматунормальные напряжения равны нулю, а касательные равны главным (рис. 7.9).

примеры решения задач по сопромату

Пример задачи №7.1.2

Пример задачи 7.1.2 По исходным граням параллелепипеда действуют нормальные напряжения, как показано на рис. 7.10, а. Определить значения напряжений по площадкам нового параллелепипеда, повернутого по отношению к исходному на угол по ходу часовой стрелки, а также максимальное касательное напряжение.

Сложное сопротивление

В рассмотренных выше деформациях, таких как, например, растяжение-сжатие, изгиб, кручение, внешние силовые факторы, действующие на брус, по отношению к его продольной оси Z направлены строго определенным образом:

при растяжении-сжатии — по его продольной оси (рис. 8.1, а); изгибе — перпендикулярно продольной оси, но в одной из главных плоскостей сечения (рис. 8.1, б);

кручении — вокруг продольной оси (рис. 8.1, в).

примеры решения задач по сопромату

На практике часто имеют место случаи, когда внешние силы ориентированы по отношению к продольной оси Z бруса произвольно: параллельно продольной оси, но с эксцентриситетом b к ней (рис. 8.1, г), перпендикулярно продольной оси, но не в главной плоскости сечения (рис. 8.1, д), перпендикулярно продольной оси, но с эксцентриситетом а к ней (рис. 8.1, е). В таких случаях в поперечном сечении бруса возникает одновременно несколько внутренних силовых факторов и он находится в условиях сложного сопротивления (сложной деформации).

Вид сложного сопротивления в простых случаях загружения стержня легко установить по направлению внешних сил по отношению к его продольной оси. При сложной нагрузке вид сопротивления устанавливается после определения внутренних сил.

Для выявления внутренних сил все действующие на брус произвольно направленные внешние силы (рис. 8.2, а) должны быть разложены на составляющие по направлению координатных осей (рис. 8.2, б) и приведены к продольной оси Z по правилам механики (рис. 8.2, в). Заметим, что оси X и У являются главными центральными осями сечения бруса. В общем случае действия сил в сечении бруса образуются продольная сила N, изгибающие моменты примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату, крутящий момент примеры решения задач по сопромату и поперечная сила Q.

примеры решения задач по сопромату

По сочетанию внутренних сил могут быть следующие виды сложного сопротивления: косой изгиб (примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату), внецентренное растяжение-сжатие (примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату), изгиб с кручением (примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату) и др. Поперечная сила Q при расчете на прочность при сложном сопротивлении не играет существенной роли.

При расчетах сложного сопротивления используется принцип независимости действия сил. Это значит, что напряжения и перемещения от различных силовых воздействий суммируются: нормальные напряжения — алгебраически, а касательные напряжения и перемещения — геометрически.

Последовательность расчета элементов конструкций на прочность следующая: определяются опорные реакции, вычисляются значения внутренних сил, строятся их эпюры, выявляются опасное сечение и наиболее напряженная его точка, устанавливается вид напряженного состояния и с использованием теории прочности вычисляется значение наибольшего напряжения.

Перемещения в элементах конструкции при сложном сопротивлении определяются теми же методами, что и при простых сопротивлениях.

Условие прочности и жесткости при сложном сопротивлении составляется идентично простым видам сопротивлений: максимальные напряжения и перемещения не должны превышать допустимых значений.

Косой изгиб

Косой изгиб наблюдается в тех случаях, когда плоскость действия нагрузки, проходящая через продольную ось бруса, не совпадает ни с одной из главных плоскостей (рис. 8.3, б), или когда она действует одновременно в двух главных плоскостях (рис. 8.3, а).

примеры решения задач по сопромату

В поперечном сечении бруса, подвергающегося косому изгибу, возникают, как и при плоском поперечном изгибе, поперечная сила Q и изгибающий момент М, но только не в одной, а в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях. Косой изгиб есть сочетание двух плоских изгибов.

Определение внутренних сил (изгибающих моментов), построение их эпюр и нахождение напряжений при косом изгибе ведутся по тем же правилам и формулам, что и при плоском изгибе.

Нормальные напряжения при косом изгибе в любой точке поперечного сечения определяются по формуле

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — изгибающие моменты в главных плоскостях исследуемого сечения;
  • примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — моменты инерции сечения относительно главных центральных осей;
  • х,у — координаты точки, в которой определяется напряжение.

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от расположения рассматриваемой точки в растянутой примеры решения задач по сопромату или сжатой примеры решения задач по сопромату зоне сечения. Характер деформации зоны устанавливается по направлению изгибающих моментов примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату в данном сечении.

На рис. 8.4, а показаны эпюры нормальных напряжений в двух главных плоскостях сечения примеры решения задач по сопромату и результирующая (эпюра примеры решения задач по сопромату).

Заметим, что изгибающий момент примеры решения задач по сопромату растягивает часть сечения, расположенную выше оси X, а нижнюю часть сжимает (см. эпюру примеры решения задач по сопромату). Изгибающий момент примеры решения задач по сопроматурастягивает часть сечения, расположенную справа от оси У, а левую часть сжимает (см. эпюру примеры решения задач по сопромату).

При сложной нагрузке характер деформации зоны сечения удобнее определять по эпюрам изгибающих моментов (см. примеры).

Нормальные напряжения при косом изгибе распределяются в поперечном сечении по линейному закону, но неравномерно (как и при плоском изгибе). Наибольшие напряжения возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (и.о.). На рис. 8.4, а это точка К.

примеры решения задач по сопромату

При косом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения и делит его на две зоны: растянутая и сжатая зона.

На нейтральной оси волокна не деформируются, а следовательно, нормальные напряжения в этой области равны нулю. Положение нейтральной оси определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату — угол наклона нейтральной оси к главной центральной оси X.

В приведенной формуле следует учитывать знаки изгибающих моментов. Положительное значение угла примеры решения задач по сопромату отсчитывается от оси X против хода часовой стрелки, отрицательное — по ходу.

Максимальные нормальные напряжения действуют по контуру сечения бруса, где касательные напряжения равны нулю. Следовательно, в названных точках имеет место линейное напряженное состояние и условие прочности используется в виде примеры решения задач по сопромату

В развернутом виде условие прочности при косом изгибе для любой формы сечения в наиболее напряженной (опасной) точке имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату— координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной оси;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня.

Для бруса из хрупкого материала следует проверять прочность как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

При сложной нагрузке, когда изгибающие моменты изменяются по длине бруса по различным законам, в поисках опасного сечения приходится проверять несколько сечений, где оба изгибающих момента достигают возможно больших значений (см. примеры).

Для поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие (незакругленные) углы (прямоугольник, двутавр, швеллер и подобные другие), условие прочности можно представить в виде

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — моменты сопротивления сечения относительно главных центральных осей.

При подборе размеров сечения условие прочности целесообразно использовать в виде

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату— приведенный (расчетный) момент;

к — коэффициент, равный отношению примеры решения задач по сопромату/ примеры решения задач по сопромату.

Для прямоугольного сечения к = h/b, среднее значение для прокатного двутавра k = 8, для швеллера k=7.

Наибольшее значение расчетного момента примеры решения задач по сопромату определяется путем пробных вычислений в нескольких сечениях бруса.

Для бруса круглого поперечного сечения примеры решения задач по сопромату =примеры решения задач по сопромату. Поэтому косой изгиб сводится к плоскому и условие прочности принимает вид

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату — суммарный изгибающий момент в опасном сечении бруса.

Рациональной формой поперечного сечения при косом изгибе является сечение, у которого выполняется условие

примеры решения задач по сопромату

Для прямоугольного сечения минимальная площадь сечения получается при условии

примеры решения задач по сопромату

Перемещения при косом изгибе определяются теми же методами, что и при плоском. Рекомендуется использовать уравнения метода начальных параметров, а также метод Мора и способ Верещагина.

Перемещения определяются отдельно в каждой из главных плоскостей (в горизонтальной примеры решения задач по сопромату и вертикальной примеры решения задач по сопромату) от действующих в них внешних сил или их составляющих (см. рис. 8.4, б).

Полный (суммарный) прогиб определяется по выражению

примеры решения задач по сопромату

и направлен перпендикулярно нейтральной оси и под углом Р к вертикальной оси сечения примеры решения задач по сопромату

При косом изгибе продольная ось бруса представляет собой плоскую или пространственную кривую.

Пример задачи №8.1

Пример задачи 8.1 Проверить прочность и жесткость стальной консольной балки составного поперечного сечения (рис. 8.5, а), если нагрузка F направлена под углом к вертикальной оси сечения.

Внецентренное растяжение-сжатие

Элемент конструкции (стержень) подвергается деформации вне-центренного растяжения-сжатия, когда внешняя сила действует параллельно его продольной оси с некоторым эксцентриситетом от центра тяжести сечения (рис. 8.8, а).

примеры решения задач по сопромату

Расчетная схема стержня составляется путем переноса внешней силы F к центру тяжести сечения по правилам механики (рис. 8.8, б). При этом образуются продольная сила N = F и изгибающие моменты относительно главных центральных осей сечения

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату — координаты точки приложения силы F. Поперечная сила Q отсутствует.

Эпюры внутренних сил показаны на рис. 8.8, в. Следует заметить, что строить эпюры необязательно, так как все внутренние силы по длине стержня постоянны.

Таким образом, внецентренное растяжение-сжатие есть сочетание центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба в главных плоскостях сечения стержня.

Для определения напряжений используются формулы, полученные для центрального растяжения-сжатия и чистого изгиба.

Продольная сила N и изгибающие моменты примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке поперечного сечения внецентренно растянутого или сжатого стержня определяются по формуле

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату— внутренние силовые факторы в сечении стержня;
  • А, примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — геометрические характеристики сечения;
  • х, у — координаты точки сечения, в которой определяются напряжения.

Знаки напряжений устанавливаются в зависимости от того, расположена точка в растянутой или сжатой зоне сечения стержня. Характер деформации зоны сечения устанавливается исходя из направления действия внутренних силовых факторов (примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату) по отношению к этому сечению (см. примеры).

При внецентренном растяжении-сжатии нормальные напряжения распределяются в сечении по линейному закону, но не равномерно. Нейтральная ось (где примеры решения задач по сопромату) не проходит через центр тяжести сечения. Она располагается в четверти сечения, противоположной точке приложения внешней силы F, и делит сечение на растянутую и сжатую зоны (рис. 8.9).

Положение нейтральной оси в сечении стержня определяется по формулам

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — отрезки, отсекаемые нейтральной осью на главных центральных осях сечения;
  • примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — координаты точки приложения внешней силы F в тех же осях
примеры решения задач по сопромату

В выражениях (8.5) следует учитывать знаки координат точки приложения внешней силы F. Заметим, что координаты примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату всегда имеют разные знаки, так как полюс силы и нейтральная ось лежат по разные стороны от центра тяжести сечения (в противоположных четвертях).

Положение нейтральной оси зависит от размеров и формы сечения и координат полюса силы F, но не зависит от ее величины.

При внецентренном растяжении-сжатии в любой точке поперечного сечения стержня (кроме точек нейтральной оси) возникают лишь нормальные напряжения примеры решения задач по сопромату, а касательные примеры решения задач по сопромату отсутствуют. Это значит, что материал стержня находится в условиях линейного напряженного состояния и условие прочности используется в виде

примеры решения задач по сопромату

В раскрытом виде это условие для любой формы сечения стержня принимает вид

примеры решения задач по сопромату


где примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату — координаты опасной точки сечения, т. е. наиболее удаленной от нейтральной оси точки.

Опасные точки определяются при помощи касательных, проведенных к сечению параллельно нейтральной оси (нулевой линии) (на рис. 8.9 — точки К и Д).

Для пластичных материалов опасной является максимально удаленная от нейтральной оси точка сечения, где напряжения по абсолютному значению наибольшие. Для хрупких материалов проверка прочности должна производиться как по растягивающим, так и по сжимающим напряжениям.

Для стержней, имеющих сечение с двумя осями симметрии и выступающими углами (прямоугольник, двутавр и подобные), условие прочности можно представить в виде

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — моменты сопротивления сечения изгибу относительно главных центральных осей.

Для названных выше типов сечений наиболее напряженными всегда являются угловые точки.

Подбор размеров сечения при внецентренном растяжении-сжатии не дает однозначного решения, так как геометрические параметры A, примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату взаимно связаны. Рекомендуется проведение ряда последовательных попыток.

Между полюсом внешней силы F и положением нейтральной оси существует определенная взаимосвязь — они расположены по разные стороны от центра тяжести поперечного сечения. При приближении силы F к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. При некотором положении полюса силы F нейтральная ось будет касаться контура сечения. При этом по всему сечению напряжения будут иметь один и тот же знак.

Зона в сечении стержня, расположенная вокруг его центра тяжести, в пределах которой следует прикладывать нагрузку, чтобы по всему сечению напряжения имели один и тот же знак, называется ядром сечения (рис. 8.10).

примеры решения задач по сопромату

Координаты ядра сечения примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату связаны с положением нейтральной оси, т. е. с ее координатами примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату, и определяются по следующим формулам, полученным из (8.5):

примеры решения задач по сопромату

Формулы (8.7) можно привести к другому виду, более удобному для многократных вычислений, используя такую геометрическую характеристику, как радиус инерции сечения:

примеры решения задач по сопромату


Тогда формулы (8.7) примут вид

примеры решения задач по сопромату

Для построения ядра сечения задаются рядом последовательных положений нейтральной оси, касающейся контура сечения (не пересекая его), вычисляются значения координат этих положений нейтральной оси, а затем координаты точек ядра сечения.

Форму и размеры ядра сечения важно знать при расчете внецентренно нагруженных элементов конструкции, выполненных из хрупкого материала.

Пример задачи №8.4

Пример задачи 8.4 Стальная полоса прямоугольного поперечного сечения, имеющая выточки (рис. 8.11, а)у нагружена растягивающими силами F = 20 кН по продольной оси Z.

Изгиб с кручением

Элемент конструкции (брус) подвергается деформации изгиба с кручением, когда внешние силы или их составляющие действуют перпендикулярно продольной оси Z в главных плоскостях сечения (т. е. создают изгиб), и пары сил, действующих в плоскости, перпендикулярной продольной оси, с моментом примеры решения задач по сопромату вокруг этой оси (т. е. создают кручение), рис. 8.14, а.

примеры решения задач по сопромату

Деформации изгиба с кручением подвергаются в основном детали машин и валы различных механизмов, имеющие преимущественно круглое поперечное сечение, а также элементы пространственных систем.

В поперечном сечении вала при изгибе с кручением образуются следующие внутренние силовые факторы: крутящий момент Т, изгибающие моменты примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату (рис. 8.14, в) и поперечные силы примеры решения задач по сопромату,примеры решения задач по сопромату.

Последние на прочность вала существенно не влияют (на рис. 8.14 не показаны).

Определение внутренних сил и построение их эпюр ведется по тем же правилам, что и при простых видах сопротивлений (рис. 8.14, б). По построенным эпюрам примеры решения задач по сопромату примеры решения задач по сопромату, Т устанавливается опасное сечение вала, т. е. сечение, где их сочетание наиболее неблагоприятное.

Изгибающие моменты связаны с нормальными напряжениями, которые в любой точке сечения определяются по формулам

примеры решения задач по сопромату

а крутящие моменты — с касательными напряжениями:

примеры решения задач по сопромату

Поскольку в поперечном сечении вала, подвергающегося изгибу с кручением, одновременно возникают нормальные и касательные напряжения, материал вала находится в условиях плоского напряженного состояния, поэтому проверка прочности производится по теориям прочности для точек, лежащих на контуре сечения, где имеется самое неблагоприятное сочетание примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату (см. рис. 8.14, в).

Условие прочности, выраженное через внутренние силовые факторы, для вала круглого поперечного сечения имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату— расчетное напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату — приведенный момент в опасном сечении вала;
  • примеры решения задач по сопромату — осевой момент сопротивления сечения;
  • примеры решения задач по сопромату— допускаемое напряжение в материале вала, которое зависит от предела текучести примеры решения задач по сопромату и коэффициента запаса прочности К:
примеры решения задач по сопромату

Для круглого сплошного сечения примеры решения задач по сопромату

для кольцевого сечения

примеры решения задач по сопромату

По четвертой (энергетической) теории прочности приведенный момент

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату — изгибающие моменты;
  • Т — крутящий момент;
  • примеры решения задач по сопромату — суммарный изгибающий момент.

В поисках опасного сечения вала часто приходится просчитывать значение примеры решения задач по сопромату для нескольких по длине вала сечений, ориентируясь на эпюры внутренних сил.

Приведенное условие прочности применимо и для расчета валов кольцевого сечения.

Пример задачи №8.7

Пример задачи 8.7 Консольный стальной брус (рис. 8.15, а) круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм нагружен системой внешних сил. В опасном сечении бруса построить эпюры нормальных и касательных напряжений, отыскать его опасную точку. Проверить прочность стержня.

Общий случай сложного сопротивления

В общем случае сложного сопротивления (рис. 8.17, а) внешние силы действуют на элемент конструкции (брус) таким образом, что в его поперечном сечении возникает шесть внутренних силовых факторов: продольная сила N, изгибающие моментыпримеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату, крутящий момент Т и поперечные силы примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату (рис. 8.17, б). Поперечные силы на прочность бруса существенно не влияют, и их эпюры на рисунке не показаны.

примеры решения задач по сопромату

Таким образом, общий случай сложного сопротивления элемента конструкции (стержня) есть сочетание нескольких простых сопротивлений: центрального растяжения-сжатия, плоского изгиба в одной или двух главных плоскостях сечения и кручения.

Продольная сила N и изгибающие моменты примеры решения задач по сопромату, примеры решения задач по сопромату связаны с нормальным напряжением примеры решения задач по сопромату, а крутящий момент Т — с касательным напряжением примеры решения задач по сопромату. Эпюры этих напряжений показаны на рис. 8.17, в.

В общем случае сложного сопротивления материал элемента конструкции находится в условиях сложного напряженного состояния, поэтому условие прочности составляется по теориям прочности для наиболее напряженной точки сечения.

Для элемента с круглым поперечным сечением наиболее напряженная (опасная) точка лежит на контуре сечения.

Для пластичных материалов наиболее приемлема четвертая (энергетическая) теория прочности, по которой условие прочности, выраженное через напряжения, имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — расчетное напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату — нормальное напряжение от растяжения-сжатия и изгиба;
  • примеры решения задач по сопромату — касательное напряжение от кручения;
  • R — расчетное сопротивление материала стержня;
  • примеры решения задач по сопромату — допустимое напряжение в материале стержня.

Заметим, что касательные напряжения от поперечной силы Q на контуре сечения, где расположена опасная точка, равны нулю.

Продольный и продольно-поперечный изгибы

В предыдущих главах пособия рассматривался расчет элементов конструкций, для которых основным являлся вопрос о прочности или жесткости. При этом напряжения и деформации линейно зависели от нагрузки, т. е. с ростом нагрузки они увеличивались постепенно, без резких скачков.

Однако встречаются случаи, когда при постепенном увеличении нагрузки резко изменяется форма равновесия элемента конструкции, вследствие чего может произойти его внезапное разрушение. В таких случаях наряду с проблемой прочности существует проблема устойчивости, т. е. сохранения под действием нагрузки первоначальной формы равновесия.

Несущая способность элемента конструкции может быть исчерпана потерей устойчивости задолго до потери прочности. При этом утрачивается первоначальная форма равновесия.

Искривление стержня, вызванное только продольными сжимающими силами, называется продольным изгибом.

Продольно-поперечный изгиб стержня происходит в случае действия как продольных сжимающих, так и поперечных изгибающих сил.

Продольный изгиб (устойчивость сжатых стержней)

В механике твердого тела различают три формы равновесия твердого тела: устойчивая, безразличная и неустойчивая. Эти формы равновесия присущи сжатым гибким (длинным, тонким) стержням (рис. 9.1).

примеры решения задач по сопромату

При незначительной сжимающей силе F, меньшей некоторого критического значения примеры решения задач по сопромату первоначальная прямолинейная форма стержня является устойчивой (рис. 9.1, а).

При примеры решения задач по сопромату сжатый стержень находится в состоянии безразличного равновесия, когда возможны как первоначальная прямолинейная форма равновесия, так и несколько близких к ней криволинейных (рис. 9.1, б).

Если F > примеры решения задач по сопромату, первоначальная форма стержня становится неустойчивой, происходит интенсивное нарастание деформации изгиба (прогиб), рис. 9.1, в.

Устойчивость — способность стержня под действием сжимающей нагрузки находиться в состоянии упругого равновесия и сохранять первоначальную форму.

Критическая сила — осевая сжимающая сила, при которой стержень будет в состоянии безразличного равновесия (критическое состояние), а малейшее ее превышение приведет к интенсивному росту прогибов (к потере устойчивости).

Критическая нагрузка является опасной и считается разрушающей. Разрушение происходит внезапно.

Допустимая (безопасная) сжимающая нагрузка на стержень составляет некоторую часть критической:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — допустимая нагрузка;
  • примеры решения задач по сопромату— критическая нагрузка;
  • примеры решения задач по сопромату — коэффициент запаса устойчивости.

Критическая нагрузка для сжатого прямолинейного стержня постоянного поперечного сечения определяется по формуле Эйлера:

примеры решения задач по сопромату
  • где Е — модуль упругости материала стержня;
  • примеры решения задач по сопромату— минимальный момент инерции сечения относительно одной из главных центральных осей;
  • примеры решения задач по сопромату — коэффициент приведения действительной длины стержня к расчетной (зависит от способа закрепления концов стержня);
  • l— длина стержня.

Непосредственно формула Эйлера была получена для случая стержня с шарнирными опорами. Влияние других видов опор Ф. С. Ясинский предложил учитывать коэффициентом примеры решения задач по сопромату, значения которого приведены на рис. 9.2. Пунктиром показана ось стержня при потере устойчивости.

примеры решения задач по сопромату

Если моменты инерции сечения относительно главных центральных осей не равны между собой, то продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости, т. е. стержень будет искривляться перпендикулярно оси, относительно которой момент инерции будет меньшим.

Напряжение, вызванное в стержне действием критической силы, также называется критическим и определяется исходя их формулы Эйлера:

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату ——гибкость стержня;

примеры решения задач по сопроматуминимальный радиус инерции сечения.

Гибкость стержня — геометрическая характеристика, зависящая от способа закрепления его концов, длины, формы и размеров сечения.

Формула Эйлера (9.3) применима при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности материала:

примеры решения задач по сопромату

т. е. при работе материала в упругой стадии. Обычно это условие выражается через гибкость стержня и записывается в виде

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату — предельная гибкость, ниже которой формула Эйлера не применима. Предельная гибкость зависит от механических свойств материала. Для стали примеры решения задач по сопромату для древесины примеры решения задач по сопромату

В случаях когда примеры решения задач по сопромату потеря устойчивости происходит за пределами упругости материала и расчет на устойчивость ведется по формуле Ясинского:

примеры решения задач по сопромату

где а и b — коэффициенты, полученные экспериментальным путем и зависящие от механических свойств материала.

Для стали а= 310 МПа, b = 1,14 МПа;

для древесины а = 28,7 МПа, b = 0,19 МПа.

Критическая нагрузка в этих случаях

примеры решения задач по сопромату

Различают три категории гибкости стержня (для стали):

  1. Стержни большой гибкости примеры решения задач по сопромату расчет которых ведется на устойчивость по формуле Эйлера.
  2. Стержни средней гибкости примеры решения задач по сопромату расчет которых на устойчивость ведется по формуле Ясинского.
  3. Стержни малой гибкости примеры решения задач по сопромату рассчитываемые на прочность при сжатии (потеря устойчивости не происходит).

Условие прочности для стержня малой гибкости имеет вид

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату — расчетное сопротивление материала на сжатие.

Стержни средней и большой гибкости рассчитываются на устойчивость по формуле

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату — коэффициент запаса устойчивости.

Этот коэффициент кроме чистого изгиба учитывает еще ряд других факторов: возможный небольшой эксцентриситет нагрузки, небольшое начальное искривление стержня, неоднородность материала и др. Для данного материала коэффициент примеры решения задач по сопромату не является постоянной величиной, а зависит от гибкости стержня. Так, для металлов примеры решения задач по сопромату = 1,5-3; для древесины примеры решения задач по сопромату = 2,5-3,2.

Для удобства проведения расчета сжатых стержней строительных конструкций принят общий вид условия устойчивости

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату— коэффициент уменьшения расчетного сопротивления материала стержня (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала, гибкости стержня, принятого коэффициента запаса устойчивости.

Значения коэффициента примеры решения задач по сопромату изменяются от 0 до 1 и для различных материалов в зависимости от значения гибкости примеры решения задач по сопромату приводятся в виде таблиц (табл. 9.1, 9.2) или графиков (рис. 9.3).

примеры решения задач по сопромату

Таким образом, расчет на устойчивость сводится к недопущению потери первоначальной формы равновесия сжатого стержня. Достигается это уменьшением допустимых нормальных напряжений против расчетных значений примеры решения задач по сопромату, причем для каждого значения гибкости стержень будет иметь свое допускаемое напряжение.

Подбор сечения по формуле (9.8) затруднителен тем, что при неизвестной площади сечения А невозможно вычислить гибкость примеры решения задач по сопромату и получить значение примеры решения задач по сопромату. Поэтому рекомендуется предварительно задаться значением примеры решения задач по сопромату (для начала примеры решения задач по сопромату = 0,5 — середина интервала) и из (9.8) определить площадь сечения А, затем примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату.

Если выбранный и вычисленный коэффициенты примеры решения задач по сопромату близки — проверяют условие (9.8).

Значительное их различие требует продолжение расчета (см. примеры).

Расхождение между примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату не должно превышать 3-5 %.

Сечение стержня, «работающего» на устойчивость, будет рациональным, если минимальный момент инерции примеры решения задач по сопромату будет возможно большим при возможно меньшей площади сечения А. Этому требованию удовлетворяют трубчатые, коробчатые сечения, а также некоторые сечения, составленные из прокатных профилей (швеллеров, уголков).

Если у сечения главные моменты инерции равны примеры решения задач по сопромату — стержень будет равноустойчивым.

Пример задачи №9.1

Пример задачи 9.1 Стальная стойка квадратного поперечного сечения (а = 7 см) длиной l = 3м центрально нагружена сжимающей силой F(рис. 9.4, а). Нижний конец стойки защемлен, а верхний в направлении главной центральной оси Х — защемлен, в направлении оси Y — свободен. Определить наибольшее допустимое значение силы F, если R = 210 МПа, Е = 200 ГПа, а коэффициент запаса устойчивости

Продольно-поперечный изгиб

Изгиб прямого стержня называется продольно-поперечным, если к нему одновременно приложены продольная и поперечная нагрузки (рис. 9.8, а).

примеры решения задач по сопромату

При расчете массивных элементов конструкций, обладающих большой жесткостью, можно использовать принцип независимости действия сил, суммируя отдельно напряжения от изгиба и от сжатия:

примеры решения задач по сопромату

Для стержней, обладающих значительной гибкостью, принцип независимости действия сил неприменим. Необходимо рассматривать деформированную схему стержня (см. рис. 9.8, а), у которого примеры решения задач по сопромату — прогиб от поперечной нагрузки, a примеры решения задач по сопромату — дополнительный прогиб от продольной сжимающей силы F.

Задача определения полного прогиба примеры решения задач по сопромату и изгибающего момента М является довольно затруднительной (особенно при сложной нагрузке). В таких случаях используются приближенные, более простые, приемы расчета. Принимают, что прогибы примеры решения задач по сопромату и примеры решения задач по сопромату являются независимыми и что форма упругой линии балки близка к синусоиде.

Исходя их этих допущений получена формула для определения полного прогиба при продольно-поперечном изгибе:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопроматуэйлерова сила;
  • J — момент инерции сечения балки, зависящий от ее положения по отношению к поперечной нагрузке.

Это может быть примеры решения задач по сопромату(рис. 9.8, б) или примеры решения задач по сопромату (рис. 9.8, в).

Если используетсяпримеры решения задач по сопромату — эйлерова сила равна критической: примеры решения задач по сопромату

В поперечных сечениях стержня, подвергающегося продольно-поперечному изгибу, возникают изгибающие моменты как от поперечных нагрузок примеры решения задач по сопромату, определяемых обычным способом, так и дополнительные от продольной:

примеры решения задач по сопромату

Полный изгибающий момент

примеры решения задач по сопромату

В изгибаемых балках с шарнирными опорами максимальный изгибающий момент примеры решения задач по сопромату при симметричной нагрузке имеет место посередине пролета и вблизи середины — при несимметричной. В консольной балке примеры решения задач по сопромату наблюдается в защемлении. Максимальный изгибающий момент в балке

примеры решения задач по сопромату

Проверка прочности при продольно-поперечном изгибе осуществляется по нормальным напряжениям, возникающим в крайних точках сечения с наибольшим изгибающим моментом, по формуле

примеры решения задач по сопромату


Формулу (9.13) можно представить в развернутом виде:

примеры решения задач по сопромату


Следует заметить, что нормальные напряженияпримеры решения задач по сопромату нелинейно связаны с продольной силой F, и при приближении ее величины к эйлеровой силе примеры решения задач по сопромату напряжения будут стремительно возрастать, достигая опасных значений. Поэтому продольная сжимающая нагрузка должна быть в пределах примеры решения задач по сопромату

При большой продольно-сжимающей силе F необходима проверка стержня на устойчивость по условию (9.8) в направлении, свободном от поперечных нагрузок .

Пример задачи №9.8

Пример задачи 9.8 Деревянная консольная балка длиной l = 2 м прямоугольного поперечного сечения нагружена сосредоточенной силой F = 5 кН в точке К под углом к оси Z (рис. 9.12, а). Проверить прочность и устойчивость балки.

Расчеты при действии динамических нагрузок

В предыдущих разделах рассмотрены расчеты на статическую нагрузку, величина которой остается постоянной или изменяется во времени медленно, плавно, и ускорениями точек элемента конструкции можно пренебречь. Однако часто приходится сталкиваться с нагрузками, воздействующими на конструкцию с большими и неравномерными скоростями, а также нагрузками внезапного кратковременного действия. Такие нагрузки называются динамическими. При действии динамических нагрузок появляются большие инерционные силы, которые необходимо учитывать в расчетах.

Физические условия работы элемента конструкции при динамическом действии нагрузки являются более сложными, чем при статическом. Для выработки расчетных условий требуется привлечение более сложных математических методов. Многие факторы еще недостаточно изучены. Поэтому на практике пользуются упрощенными методами расчета, основанными на ряде допущений. В частности, допускается, что в пределах упругих деформаций при динамических нагрузках верен закон Гука, т. е. напряжения и деформации связаны линейной зависимостью примеры решения задач по сопромату

Установлено, что практически во всех случаях силы динамического воздействия пропорциональны статическим. Поэтому расчеты на прочность при динамических нагрузках выполняются по методам, разработанным для статических нагрузок, но с введением динамического коэффициента.

Различают следующие виды расчета на динамическую нагрузку:

  1. расчет на действие сил инерции;
  2. расчет на ударную нагрузку;
  3. расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку.

Расчет на действие сил инерции

Инерционной нагрузке подвержены элементы подъемников, лифтов, транспортеров, деталей машин и механизмов, движение которых происходит с ускорением (рис. 10.1, а).

примеры решения задач по сопромату

Согласно принципу Даламбера, всякое движущееся тело можно считать находящимся в состоянии мгновенного равновесия, если к действующим на него внешним силам добавить силу инерции, направив ее в сторону, противоположную ускорению (рис. 10.1, а, б).

Сила инерции Р численно равна произведению массы движущегося элемента т на ускорение движения а:

Р = та.

Для случая, показанного на рис. 10.1, б, на отсеченную часть стержня действуют собственный вес этой части

примеры решения задач по сопромату

где q — вес погонного метра стержня (линейная плотность), и сила инерции

Р = та,

где т — масса части стержня.

В случае наличия груза Q (рис. 10.1, в) на рассматриваемую часть стержня действуют вес груза Q, собственный вес части стержня примеры решения задач по сопромату и сила инерции

Р = т’а,

где примеры решения задач по сопромату — масса груза и части стержня.

Напряжение в стержне, движущимся с ускорением:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату— динамическое напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату — напряжение от статического действия собственного веса (груза);
  • примеры решения задач по сопромату— динамический коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличится статическое напряжение от воздействия сил инерции. Для случая на рис. 10.1, б
примеры решения задач по сопромату

Для случая на рис. 10.1, в

примеры решения задач по сопромату

Динамический коэффициент определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату
  • где а — ускорение движения;
  • g — ускорение силы тяжести (свободного падения).

Условие прочности при учете сил инерции имеет вид

примеры решения задач по сопромату

При значительном весе груза Q и небольшой длине стержня (троса) собственным весом троса можно пренебречь.

Пример задачи №10.1

Пример задачи 10.1 Груз массой т = 1,5 т при помощи троса поднимается на высоту Н = 30 м (рис. 10.2). В первые три секунды подъема с постоянным ускорением груз проходит путь s = 22,5 м. Определить площадь сечения троса, если его расчетное сопротивление R = 190 МПа, модуль продольной упругости Е = 100 ГПа, объемная плотность

Расчет на ударную нагрузку

Ударной называется нагрузка, которая за короткий промежуток времени достигает значительной величины.

Поскольку продолжительность удара измеряется долями секунды, образующиеся большие ускорения приводят к большой инерционной силе, воздействующей на элемент конструкции, воспринимающий удар.

В зависимости от характера взаимодействия соударяющихся тел различают продольный (сжимающий или растягивающий), поперечный (изгибающий) и скручивающий удары. Во всех этих случаях степень воздействия ударной нагрузки зависит от массы и скоростей (в момент удара) обоих соударяющихся тел. Массой ударяемого элемента можно пренебречь, если она значительно меньше массы ударяющего тела.

примеры решения задач по сопромату

В случае продольного удара (рис. 10.5) коэффициент динамичности определяется по формулепримеры решения задач по сопромату

  • где Н — высота падения груза;
  • примеры решения задач по сопромату — деформация стержня от статического действия ударяющей силы:
примеры решения задач по сопромату
  • А — площадь поперечного сечения;
  • Е — модуль продольной упругости материала стержня.

В случае изгибающего удара (рис. 10.6) динамический коэффициент определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату

где H — высота падения груза;

примеры решения задач по сопромату— прогиб балки в ударяемом сечении от статического действия ударяющей силы.

примеры решения задач по сопромату

Например, при ударе посередине длины балки прогиб

примеры решения задач по сопромату

при ударе на конце консоли

примеры решения задач по сопромату


Анализ формул для определения примеры решения задач по сопроматупоказывает, что при внезапном приложении нагрузки (Н = 0) коэффициент динамичности примеры решения задач по сопромату Если высота падения груза H значительно больше примеры решения задач по сопромату, то в формулах (10.2), (10.3) единицей под корнем можно пренебречь.

Если известна скорость падения груза V в начале удара, то коэффициент динамичности можно определить по формуле

примеры решения задач по сопромату

где примеры решения задач по сопромату или примеры решения задач по сопромату в зависимости от вида удара (продольный или поперечный).

Условие прочности по методу предельных состояний при ударном действии нагрузки имеет вид

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — максимальное динамическое напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату — максимальное статическое напряжение;
  • примеры решения задач по сопромату — динамический коэффициент, зависящий от вида динамического воздействия (10.2), (10.3).
  • Деформация элемента конструкции
примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату— деформация от динамического действия силы примеры решения задач по сопромату;
  • примеры решения задач по сопромату — деформация от статического действия силы примеры решения задач по сопромату

В теории доказывается, что величина динамических напряжений зависит от объема подвергающегося удару элемента конструкции (стержня, балки, вала) и качества его материала.

Чем больше объем и чем меньше модуль упругости, тем меньше динамические напряжения в элементе конструкции.

Для снижения динамических напряжений нужно увеличить податливость (деформативность) элемента путем увеличения, например, его длины или замены на материал с более низким модулем упругости. Применимы и амортизирующие устройства (прокладки, пружины).

Изложенный выше способ расчета на действие ударной нагрузки не учитывает массу элемента конструкции, который подвергается удару. Вследствие этого формулы (10.2)—(10.6) дают несколько преувеличенное значение определяемых параметров, что идет в запас прочности и жесткости.

Приведем формулу для вычисления динамического коэффициента с учетом массы ударяемого элемента конструкции:

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — коэффициент приведения массы ударяемого элемента к месту удара;
  • примеры решения задач по сопромату — собственный вес ударяемого элемента;
  • Q — вес ударяющего груза.

Пример задачи №10.4

Пример задачи 10.4 На стальной стержень длиной l = 1 м квадратного поперечного сечения (а = 5 см), рис. 10.7, с высоты Н = 10 см падает груз массой т = 30,6 кг. Проверить прочность стержня без и с учетом его массы, если допускаемое напряжение из расчета на устойчивость составляет R = 74,1 МПа.

Расчет на колебательную (вибрационную) нагрузку

Всякий упругий элемент конструкции (балка, вал, пружина) определенной массы т под действием внезапно приложенной нагрузки Q способен около положения равновесия совершать собственные (свободные) непериодические колебания с частотой примеры решения задач по сопроматуи, благодаря наличию внутренних упругих сил, постепенно затухающей амплитудой примеры решения задач по сопромату до восстановления равновесия (рис. 10.10)

примеры решения задач по сопромату

Если на балку действует один груз Q и ее собственная масса т значительно меньше, чем масса груза, то такая балка обладает одной степенью свободы и перемещения всех ее точек в любой момент времени можно выразить через перемещение одной точки (под грузом). Балка, несущая п сосредоточенных грузов, имеет п степеней свободы.

По виду деформации элемента конструкции различают продольные (при растяжении-сжатии стержня, пружины), поперечные (при изгибе балки) и крутильные (при кручении вала) колебания.

Частота собственных колебаний для любого элемента конструкции с одной степенью свободы независимо от вида совершаемых колебаний — линейных (при растяжении-сжатии, изгибе), угловых (при кручении) — определяется по формуле

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату— частота собственных колебаний;
  • примеры решения задач по сопромату — статическое перемещение под действием веса колеблящегося груза;
  • g — ускорение силы тяжести.

Для консольной балки с грузом на ее конце

примеры решения задач по сопромату

Для двухопорной балки с грузом посредине пролета

примеры решения задач по сопромату

При определении частоты собственных колебаний силами сопротивления в опорах конструкции, а часто и ее собственным весом, пренебрегают.

Если на элемент конструкции кроме постоянного груза Q будет действовать периодически изменяющаяся возмущающая сила с амплитудой Р и частотой примеры решения задач по сопромату, то этот элемент станет совершать вынужденные колебания с частотой возмущающей силы (рис. 10.11).

примеры решения задач по сопромату

Возмущающую силу (вибрацию) создают механизмы с вращающимися, не вполне уравновешенными частями за счет возникающей центробежной силы инерции (электродвигатели, лебедки, валы механизмов).

В отличие от собственных колебаний, которые быстро затухают, вынужденные остаются постоянными, так как энергия со стороны возмущающей силы подводится непрерывно.

Расчет ведется по вертикальной амплитуде центробежной силы Р,совпадающей с направлением постоянного груза Q.

От соотношения частот вынужденных и собственных колебаний зависит степень силового воздействия на элемент конструкции, которая оценивается динамическим коэффициентом

примеры решения задач по сопромату
  • где примеры решения задач по сопромату — частота вынужденных колебаний;
  • примеры решения задач по сопромату — частота собственных колебаний.

Из формулы (10.9) следует, что если частота вынужденных колебаний примеры решения задач по сопромату приближается к частоте собственных колебаний примеры решения задач по сопромату, то динамический коэффициент, а следовательно, деформации и напряжения в элементе конструкции неограниченно возрастают.

Если примеры решения задач по сопромату, коэффициент примеры решения задач по сопромату возрастает до бесконечности — наступает явление резонанса, представляющего собой опасность для элемента конструкции. Соответствующая частота возмущающей силы называется критической. Нецелесообразно допускать эксплуатацию конструкции в зоне резонанса, так как обеспечение прочности потребует значительного расхода материала. Частота собственных колебаний должна быть примерно на 30 % больше частоты вынужденных.

Деформации и напряжения в элементе конструкции от возмущающей силы Р определяются с использованием динамического коэффициента:

примеры решения задач по сопромату

Суммарные деформации и напряжения слагаются из статических и динамических:

примеры решения задач по сопромату

Пример задачи №10.7

Пример задачи 10.7 Электродвигатель весом Q = 1,5 кН установлен на консольных деревянных балках прямоугольного поперечного сечения при соотношении сторон h / b= 1,5 (рис. 10.12, а).

Готовые задачи по сопротивлению материалов

Сопротивление материалов — это наука о прочности, жесткости и стабильности элементов в инженерных конструкциях.

Сопротивление материала относится к механике деформируемого твердого тела, которая, как и теоретическая механика, является частью общей механики.

К механике деформируемого твердого тела, кроме сопротивления материала, относятся теория упругости, теория пластичности и ползучести, механика разрушения, механика композиционных материалов и другие.

Основные положения о сопротивлении материалов основаны на законах и теоремах теоретической механики и, прежде всего, на законах статики. Однако в отличие от теоретической механики, считающей тела абсолютно твердыми, сопротивление материала учитывает изменение формы и размеров тела под воздействием внешних сил, т.е. деформацию.

Задача сопротивления материалов заключается в разработке методов расчета конструкций и их элементов на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном соблюдении требований надежности и экономичности.

Прочность — это способность тела противостоять внешним нагрузкам без разрушения.

Жесткость — это способность тела сопротивляться изменениям в размерах и форме при воздействии внешних нагрузок.

Устойчивость — способность кузова сохранять свою первоначальную форму под нагрузкой.

Растяжение и сжатие

Задача №1.2

Бетонная колонна квадратного поперечного сечения нагружена расчетной системой сил: сосредоточенных F и равномерно распределенных q (рис. 1.4)

задачи по сопротивлению материалов

Определить размеры поперечных сечений, постоянных для каждого расчетного участка колонны, и перемещение ее свободного сечения.

Для материала колонны: расчетное сопротивление на сжатие задачи по сопротивлению материалов = 4 МПа, модуль продольной упругости Е = 15 ГПа.

Решение:

Поскольку нагрузка действует по продольной оси Z колонны, последняя подвергается деформации сжатия.

На рассматриваемой колонне исходя из характера нагрузки выделяются три расчетных участка, в пределах которых намечаются сечения I-III.

Длинам участков l придается индекс номера участка.

Колонна в своем основании имеет опору, в которой возникает только одна реакция задачи по сопротивлению материалов. Уравнение равновесия можно составить также одно: задачи по сопротивлению материалов, из которого определится реакция задачи по сопротивлению материалов:

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов = 984 кН.

Рассматриваемая система является статически определимой.

Для определения продольной силы на участках колонны воспользуемся вторым приемом, без показа «отсеченных» частей, используя правило задачи по сопротивлению материалов

Участок I : задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

при

задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

Участок II: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

Участок III: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов

при

задачи по сопротивлению материалов

Контроль правильности вычислений N таков: при z = 3,7 м по модулю задачи по сопротивлению материалов

Для вычисления N сечения можно было назначать со стороны опоры.

По полученным значениям N строится эпюра продольных сил -эп. N (рис. 1.4, б). Отрицательные значения N обычно откладываются влево от оси эпюры.

На участке колонны, где распределенная нагрузка q = 0, N = const, а на участке, где задачи по сопротивлению материалов (прямая наклонная).

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила F, на эпюре N имеется «скачок» на величину этой силы (480 -160 = 320 кН).

Размеры поперечных сечений на каждом участке колонны определим из условия прочности по нормальным напряжениям (1.2):

задачи по сопротивлению материалов

На участке I

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материалов

На участке II

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материалов. Принимаем задачи по сопротивлению материалов

На участке III

задачи по сопротивлению материалов

сторона сечения задачи по сопротивлению материаловПринимаем задачи по сопротивлению материалов

На рис. 1.4, в показана схема спроектированной колонны. Для построения эпюры напряжений необходимо вычислить значения ст в характерных сечениях колонны. В сечении А

задачи по сопротивлению материалов

В сечении С

задачи по сопротивлению материалов

В сечении D

задачи по сопротивлению материалов

В сечении В

задачи по сопротивлению материалов

По полученным значениям задачи по сопротивлению материалов строится эпюра напряжений (эпюра задачи по сопротивлению материалов), показанная на рис. 1.4, г.

Значения абсолютных продольных деформаций на участках колонны вычислим, используя формулы (1.3) и (1.4).

Следует обратить внимание, что на первом участке колонны продольная сила N складывается из сосредоточенной задачи по сопротивлению материалови равномерно распределенной q. Поэтому на первом участке

задачи по сопротивлению материалов

Распределенная нагрузка задачи по сопротивлению материаловдля второго участка колонны действует как сосредоточенная. Поэтому на втором участке

задачи по сопротивлению материалов

На третьем участке

задачи по сопротивлению материалов

Для определения деформации участков колонны можно использовать эпюру напряжений. Особенно это удобно на участках с распределенной нагрузкой. Деформация

задачи по сопротивлению материалов

где задачи по сопротивлению материалов — площадь эпюры напряжений.

Так, для участка l (где эпюра напряжений является трапецией)

задачи по сопротивлению материалов

что соответствует первому вычислению.

Перемещения граничных сечений колонны определяются исходя из значений деформаций задачи по сопротивлению материалов его участков.

Для проведения расчета на колонне выбирается сечение, перемещение которого известно, — это опора, где перемещение равно нулю задачи по сопротивлению материалов

Перемещения остальных граничных сечений вычисляются последовательным добавлением к начальному перемещению деформаций последующих участков колонны:

задачи по сопротивлению материалов

По вычисленным значениям задачи по сопротивлению материалов строится эпюра перемещений (эпюра задачи по сопротивлению материалов), приведенная на рис. 1.4, д.

На участке колонны, где задачи по сопротивлению материалов перемещение наращивается по закону параболы.

Из эпюры перемещений следует, что перемещение свободного сечения составляет задачи по сопротивлению материалов= 0,810 мм. Это же число определяет и полную деформацию колонны.

Статически неопределимые системы

Задача №1.6

Абсолютно жесткий элемент Р закреплен в шарнирно-неподвижной опоре и поддерживается двумя стальными стержнями, выполненными из сдвоенных равнополочных уголков (рис. 1.8, а).

задачи по сопротивлению материалов

Определить наибольшую допустимую нагрузку на систему. Стержень 1: длина задачи по сопротивлению материаловуголок 50 х 50 х 5 мм; стержень 2: длина задачи по сопротивлению материалов,уголок 70 х 70 х 6 мм. Для стали R = 210 МПа, Е = 200 ГПа.

Решение:

Из таблицы сортамента прокатных уголков выписываем значения площадей сечения стержней:

задачи по сопротивлению материалов

Система имеет четыре опорные реакции. Для нее можно составить три уравнения равновесия. Следовательно, она является один раз статически неопределимой (4 — 3 = 1).

Поскольку стержни 1 и 2 соединяются с элементом Р при помощи шарниров, в них образуются только продольные силы N.

Исходя из характера закрепления элемента Р, направления нагрузки и расположения стержней, можно предположить, что элемент Р повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. При этом стержень 1 удлинится, а стрежень 2 укоротится. Соответственно этому показываются направления продольных сил в стержнях: задачи по сопротивлению материаловот сечения, задачи по сопротивлению материалов— к сечению.

Рациональным уравнением равновесия является

задачи по сопротивлению материалов

или

задачи по сопротивлению материалов

Чтобы построить диаграмму перемещений, стержни 1 и 2 следует мысленно отсоединить от элемента Р и по направлению этих стержней отложить отрезки, изображающие их деформации: задачи по сопротивлению материалов — удлинение, задачи по сопротивлению материалов — укорочение. Получим точки задачи по сопротивлению материалови задачи по сопротивлению материалов.

Из точки задачи по сопротивлению материалов проведем перпендикуляр к продольной оси стержня 1. Поскольку элементы системы должны перемещаться совместно, конец деформированного стержня 1 нужно свести с узлом К элемента Р. Для этого из точки К проводим перпендикуляр к продольной оси элемента Р. Пересечение двух названных перпендикуляров даст точку задачи по сопротивлению материалов — новое положение узла К.

Так как элемент Р абсолютно жесткий, его ось, повернувшись вокруг шарнира А, пройдет через точку задачи по сопротивлению материалов и на оси стержня 2 отсечет отрезок задачи по сопротивлению материалов (рис. 1.8, б).

Чтобы составить дополнительное уравнение, нужно из подобия треугольников задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов связать между собой деформации стержней задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов:

задачи по сопротивлению материалов

Выразив деформации через продольные силы, получим

задачи по сопротивлению материалов

Из уравнений (1.9) и (1.10) получим

задачи по сопротивлению материалов

Допустимую нагрузку q найдем из условия прочности стержней. Из условия прочности стержня 1

задачи по сопротивлению материалов

а нагрузка

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности стержня 2

задачи по сопротивлению материалов

За максимально допустимую нагрузку на систему принимаем меньшее значение q: задачи по сопротивлению материалов = 168 кН/м. При этой нагрузке продольные силы в стержнях будут

задачи по сопротивлению материалов

а напряжения задачи по сопротивлению материалов= 36,0 МПа, задачи по сопротивлению материалов = 210 МПа.

Как видно из расчета, стержень 1 недонапряжен, что является особенностью статически неопределимых систем, в которых достичь равной прочности всех стержней довольно сложно.

Сдвиг

Задача №2.2

Нижний пояс фермы, выполненный из неравнополочных уголков, соединяется при помощи накладки и заклепок диаметром d = 14 мм, рис. 2.4.

задачи по сопротивлению материалов

Расчетная продольная сила (выявленная в процессе расчета фермы) N = 500 кН. Подобрать номер уголков и размеры поперечного сечения накладки, а также определить необходимое количество заклепок, если R = 210 МПа,задачи по сопротивлению материаловзадачи по сопротивлению материалов Высоту накладки принять на 15 мм больше высоты полки уголка.

Решение:

Соединяемые элементы (уголки) пояса фермы и соединительная накладка подвергаются растяжению и смятию, а заклепки — срезу.

Площадь поперечного сечения нижнего пояса фермы определим из условия прочности по нормальным напряжениям (2.3):

задачи по сопротивлению материалов


Для одного уголка задачи по сопротивлению материалов

По сортаменту для неравнополочных уголков принимаем два уголка 125 х 80 х 7 мм с площадью

задачи по сопротивлению материалов

Толщину накладки задачи по сопротивлению материалов можно определить из формулы (2.3) или воспользоваться значением задачи по сопротивлению материалов для уголков: задачи по сопротивлению материалов . По условию задачи

задачи по сопротивлению материалов

Тогда

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 2 см.

Определим количество заклепок из условия прочности на срез (2.1):

задачи по сопротивлению материалов


В рассматриваемом примере заклепки двухсрезные задачи по сопротивлению материалов

Определим количество заклепок из условия прочности на смятие (2.2):

задачи по сопротивлению материалов

Заметим, что в одном направлении сминаются уголки, для которых

задачи по сопротивлению материалов

а в другом — накладка, для которой

задачи по сопротивлению материалов

В расчет идет меньшее значение задачи по сопротивлению материалов (как более слабое).

Из двух вычисленных значений п выбираем большее. Округлив число n до большего целого, получим п = 9.

Таким образом, на каждой половине накладки необходимо разместить по девять заклепок.

Уточним несущую способность N рассмотренного заклепочного соединения. Из условия прочности нижнего пояса фермы по формуле (2.3)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности накладки по (2.3)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности заклепок на срез по (2.1)

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности заклепок на смятие по формуле (2.2)

задачи по сопротивлению материалов

Анализ полученных значений N показывает, что безопасная продольная сила, которую может воспринять заклепочное соединение, N = 526 кН, т. е. пояс фермы имеет повышенный на 5,2 % запас прочности.

Расчет сварных соединений

Задача №2.4

Стык двух неравнополочных уголков, перекрытый накладкой, растягивается силой F = 245 кН (рис. 2.7).

задачи по сопротивлению материалов

Из условия равнопрочности соединения определить номер уголков, размеры поперечного сечения накладки и длину фланговых швов для соединения уголков с накладкой, если R = 210 МПа, задачи по сопротивлению материалов = 180 МПа. Сварка ручная.

Решение:

Номер неравнополочных уголков определим из условия прочности по нормальным напряжениям:

задачи по сопротивлению материалов

откуда

задачи по сопротивлению материалов

Для одного уголка

задачи по сопротивлению материалов

Из таблицы сортамента принимаем два уголка 63 х 40 х 6 мм с площадью сечения

задачи по сопротивлению материалов

Для принятого уголка В = 63 мм, задачи по сопротивлению материалов = 2,12 см. Толщину накладки определим из условия ее равнопрочности с уголками, приняв во внимание, что ее сторона

задачи по сопротивлению материалов

откуда

задачи по сопротивлению материалов

Принимаем задачи по сопротивлению материалов

Приняв толщину шва задачи по сопротивлению материалов = 6 мм (равную толщине уголка) и учитывая, что Q = F, длину сварных швов определим из условия прочности их на срез (2.4):

задачи по сопротивлению материалов

Вычисленная длина швов должна быть расположена по одну сторону от стыка.

Так как в соединении два уголка, на один уголок длина шва будет

задачи по сопротивлению материалов

причем

задачи по сопротивлению материалов

Поскольку линия действия силы F, проходящая по продольной оси уголка, находится на разных расстояниях от верхнего 1 и нижнего 2 швов, длина их должна быть обратно пропорциональна расстоянию от продольной оси до швов, т. е.

задачи по сопротивлению материалов


Решив совместно уравнения (2.5) и (2.6), получим задачи по сопротивлению материалов задачи по сопротивлению материалов

Проектную длину швов с учетом неполного провара их концов примемзадачи по сопротивлению материалов

Расчет врубок

Задача №2.6

Стык двух сосновых брусьев сечением h = 18 см и b = 6 см осуществлен при помощи зуба (рис. 2.10).

задачи по сопротивлению материалов

Определить необходимые размеры зуба (длину l и высоту а). Расчетные сопротивления брусьев: на растяжение R = 10 МПа, на срез задачи по сопротивлению материалова, на смятие задачи по сопротивлению материалов

Решение:

Зуб рассчитывается на скалывание и смятие вдоль волокон (зоны деформации показаны на рис. 2.10). Высота ослабленного сечения бруса

задачи по сопротивлению материалов

и высота зуба а связаны между собой. Выразив F из условия прочности на растяжение и смятие, найдем значение высоты зуба а, а следовательно, и значение высоты ослабленного сечения бруса задачи по сопротивлению материалов.

Из условия прочности на растяжение

задачи по сопротивлению материалов

Из условия прочности на смятие

задачи по сопротивлению материалов

Из уравнений (2.10) и (2.11) а = 4,74 см, принимаем а = 5 см. Высота ослабленного сечения бруса

задачи по сопротивлению материалов

Наибольшая допустимая нагрузка на соединение брусьев

задачи по сопротивлению материалов

Длину зуба I определим из условия прочности на скалывание (2.7):

задачи по сопротивлению материалов


принимаем l= 28 см.

Геометрические характеристики плоских сечений

Задача №3.2

Для заданного сечения определить положение центра тяжести и значения главных центральных моментов инерции (рис. 3.4).

задачи по сопротивлению материалов

Данные к примеру: h = = 15 см, b = 18 см, d= 8 см.

Решение:

Данное сложное сечение можно представить как сочетание прямоугольника (1), двух треугольников (3 и 4) и выемки в виде полукруга (2).

На сечении отмечаются центры тяжести простых фигур задачи по сопротивлению материалов и проводятся их центральные оси задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов

Поскольку ось задачи по сопротивлению материалов сечения является осью симметрии — центр тяжести его лежит на этой оси. Для определения положения центра тяжести по оси задачи по сопротивлению материалов выбирается вспомогательная ось задачи по сопротивлению материалов совпадающая с нижней стороной сечения.

Вычисляем расстояние от центральных осей простых фигур до вспомогательной оси:

задачи по сопротивлению материалов

Площадь рассматриваемого сечения

задачи по сопротивлению материалов

По формуле (3.2) статический момент площади сечения относительно вспомогательной оси

задачи по сопротивлению материалов

Ордината центра тяжести сечения (по формуле (3.1))

задачи по сопротивлению материалов

На сечении отмечается центр тяжести (точка О) и проводится центральная ось задачи по сопротивлению материалов. Напомним, что другой центральной осью является ось задачи по сопротивлению материалов.

Вычисляем расстояния m, п между центральными осями простых фигур и всего сечения:

задачи по сопротивлению материалов

Предварительно для каждой простой фигуры вычисляем значения осевых моментов инерции относительно собственных центральных осей задачи по сопротивлению материалов

Для первой фигуры (прямоугольник)

задачи по сопротивлению материалов

Для второй фигуры (полукруг)

задачи по сопротивлению материалов

Для третьей и четвертой фигур (треугольники)

задачи по сопротивлению материалов

Определяем значения осевых моментов инерции заданного сечения относительно центральных осей задачи по сопротивлению материалов (по формуле (3.3)):

задачи по сопротивлению материалов

Рассматриваемое сечение имеет ось симметрии — ось задачи по сопротивлению материалов— Значит, эта ось является одной из главных осей. Другая главная ось — задачи по сопротивлению материалов -проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна первой. Исходя из значений задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материаловследует, что азадачи по сопротивлению материалов а задачи по сопротивлению материалов

Кручение

Задача №4.2

Проверить прочность и жесткость стального стержня круглого поперечного сечения, защемленного левым концом (рис. 4.8).

задачи по сопротивлению материалов

Диаметры участков: задачи по сопротивлению материалов= 5,2 см, задачи по сопротивлению материалов= 4,5 см.

Для материала стержня задачи по сопротивлению материалов

Решение:

Действующие на стержень скручивающие моменты вызывают в опоре реактивный момент задачи по сопротивлению материалов для определения которого имеется одно уравнение равновесия YMz = 0 (система статически определима). Искомый момент задачи по сопротивлению материалов направляется произвольно.

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов

Полученный знак «минус» при задачи по сопротивлению материалов означает, что действительное направление момента противоположное. Стержень имеет два расчетных участка.

Крутящие моменты на участках стержня (рассматриваются части стержня слева от сечения)

задачи по сопротивлению материалов

Касательные напряжения на участках стержня (по формуле (4.2))

задачи по сопротивлению материалов

Относительные деформации на участках стержня (по формуле (4.4))

задачи по сопротивлению материалов

Прочность и жесткость стержня при данных диаметрах обеспечены

Прямой изгиб

Задача №5.2

Для двухопорной балки построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 5.7).

задачи по сопротивлению материалов

Решение:


Координатная ось Z совпадает с продольной осью балки, ось Y ей перпендикулярна.

Действующая на балку нагрузка передается на опоры, где возникают опорные реакции задачи по сопротивлению материалов и задачи по сопротивлению материалов, которые определяются из уравнений равновесия.

Составим два уравнения моментов относительно опорных сечений, чтобы реакции можно было найти независимо друг от друга:

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 2,556 кН;

задачи по сопротивлению материалов

откуда задачи по сопротивлению материалов= 5,444 кН.

Знаки «плюс» у реакций задачи по сопротивлению материалов изадачи по сопротивлению материалов указывают на то, что их действительное направление совпадает с предполагаемым. Проверим правильность вычисления реакций:

задачи по сопротивлению материалов — реакции определены верно.

На балке выделяются три расчетных участка. С целью сокращения объема вычислений для составления выражений для Q и М будем рассматривать часть сечений с левого, а часть — с правого конца балки (рис. 5.7, а).

Участок 1 — ход слева: задачи по сопротивлению материалов

задачи по сопротивлению материалов